三角函数中三角变换常用的方法和技巧.doc

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1、三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa

2、)^2-1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)万能公式sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与

3、角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。例1　函数的最小值等于（　　）．（A）　　（B）　　（C）　　（D）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：，所以将函数的表达式转化为，故的最小值为．故选（C）．评注：常见的角的变换有：，，，，，．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．例2、已知均是锐角，求。解：小结：本题根据问题的条件和结论进行的变换。例3、已知cos(,sin(-)=,且求分析：观察已知

4、角和所求角，可作出的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。解：例4、已知求证：分析：由角的特点，因已知条件所含角是所证等式含角所以以角为突破口。证明：小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．例1、若sin（α+β）=,sin（α—β

5、）＝，求解：由sin=（α+β）=,sin（α—β）＝得∴＝＝例2、当时，函数的最小值是（　）．（A）　　（B）（C）　　（D）解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式，所以，分子与分母同时除以转化为关于的函数进行求解．因为，所以，所以．故选（A）．评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函

6、数”，有时可以利用公式将“弦函数”化为“切函数”进行解答．例3、化简：解：原式例4、已知，求的值。解：∵，∴点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．例1、　已知为第二象限角，且，求的值．分析：由于已知条件中知道的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答

7、．解：原式当为第二象限角，且时，，，所以．评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．例2、求值：解：原式：＝＝==＝＝注：怎样处理sin320°和是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。例3、化简。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式四、常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，，等等。例1、已知，求的值．分析：由已知易求得的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将

8、1化为，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．解：由，得，于是原式．评注：对于题中所给三角式中的常数（如：等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．例2、求值（—）·解：∵—＝＝＝＝＝＝32cos20o∴原式＝32例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子可联想到。解：