三角变换常用的技巧与方法.doc

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1、三角变换常用的技巧与方法赵春祥三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的解题技巧，运用三角变换中的常用技巧是高考中所必需的．要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法和技能．下面介绍三角变换中常用的方法与技巧．一、角的变换三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、半等关系，化多角为单角或减少未知角的数目，沟通条件与结论角的差异，使问题顺利获解．例1已知0＜＜，＜＜，coos(－)=，sin(＋)=，求sin(＋)的值．分析：如果将sin(＋)按和角公式展开，通过求出、角的正余弦来求sin(＋)的值，计算十分复杂．若注意到(＋)－(－)=＋(＋)便

2、可求出＋和－的正余弦值来求sin(＋)，则较为简捷．解：∵＜＜，∴－＜－＜0，∴sin(－)=－．又∵0＜＜，∴＜＋＜，∴cos(＋)=－．∴sin(＋)=－cos(＋＋)=－cos[(＋)－(－)]=－cos(＋)·cos(－)－sin(＋)·sin(－)=－(－)×－×(－)=．评析：本题采用的“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．凑角变换表面上看将角化简为繁，难于理解，实质上恰恰体现了由未知角向已知角转化，用已知角表示未知角的一贯思路．此外，还常用到下列变换：=(＋2)－(＋)；=(－)＋；2=(＋)＋(－

3、)；－=(－)＋(－)，=－；＋=－(－)等．二、函数名称变换三角变换中，常常需要变函数名称为同名函数．在三角函数中，正、余弦是基础，通常化切割为弦，变异名为同名，减少了函数种数，易于变形．例2已知=k(＜＜)试用k表示sin－cos的值．分析：将已知条件“切化弦”转化为关于sin，cos的等式．4解：由已知==2sincos=k．∵＜＜，∴sin＞cos，∴sin－cos===．评析：切割化弦是三角变换的一种常用方法，若能把所给式子中的三角函数都化成同名、同角的三角函数，则此三角函数式的化简，实质上是代数式的变形．一、常数的变换在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函

4、数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，这样，就增加了多种可用的工具．例3已知=5＋2，求的值．分析：要求的值，条件=5＋2是非常重要的，需要从这一条件出发，将a的某一三角函数值求出，即可获解．解：==tan(＋)=5＋2．∵==tan(＋)，∴===5－2．评析：这里对1的代换很灵活，分子部分的1用tan，而分母部分的1并没有代换，为使用公式的方便，将系数1用tan代换，可巧妙地化简．二、公式变换三角公式作为恒等式，在运用时，不能仅局限于它的正用，逆用公式不仅能进一步熟悉掌握公式，而且更便于解题．例4求tan＋tan＋tan×tan的值．解：∵tan(＋)=，由此公式的变形有：tan＋

5、tan=tan(＋)[]，整理得tan＋tan＋tan(＋)tantan=tan(＋)．令=，=，即得：tan＋tan＋tan×tan=．评析：由此例还可以编拟出一系列有趣的恒等式，比如：令=，=；=，=°；=，=等．4一、参数变换根据三角函数式的结构，引入参变量替换，使参变量在解题过程中起到桥梁作用，通过参数代换，使繁难的式子变得简单、复杂的式子变得简明，使隐含的规律显露出来．例5求cos－cos的值．解：设x=cos，y=cos，由cos=2cos－1得y=2x－1，又cos=1－2sin=1－2cos，则x=1－2y．∴x+y=2(x－y)=2(x+y)(x－y)，∵x+y≠0，

6、∴x－y=，即cos－cos=．评析：在三角函数求值问题中，通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论．这种替换可以转化原问题的结构，简化解题过程．替换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果．二、平方升次变换通过平方升次运算，可以避开直接解题时的麻烦，使解题思路更明显，解法更巧妙．例6已知sincos=，求cossin的取值范围．解：由sincos=两边平方得，sincos=，又cossin=(1－sin)(1－cos)=1－(sin＋cos)＋sincos=－(sin＋cos)，∵sin=，∴sin＋cos=＋cos=(－cos)＋1，∴cossin=－[(－cos)＋1

7、]=－(－cos)≤．∴－≤cossin≤．评析：平方变换架起已知通向未知的桥梁，沟通已知与未知的联系．七、降次变换降次变换需要使用倍角公式：sin=，cos=．例7求sin＋sin＋sin＋sin的值．解：原式=(sin)＋(sin)＋(sin)＋(sin)=(1－cos)＋(1－cos)＋(1－cos)＋4(1－cos)=1－×2(cos＋cos＋cos＋cos)＋(cos＋cos＋cos＋cos)=1－(cos＋cos－cos－cos)＋