三角函数变换的技巧与方法

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1、三角函数变换的方法与技巧(1)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。例1、已知，求证：。分析：在条件中的角和与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。解：，，二、函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。

2、如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。例2、(2001年上海春季高题)已知，试用表示的值。分析：将已知条件“切化弦”转化为的等式。解：由已知；。一、常数的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，，等等。例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子可联想到。解：。所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。二、公式的变形与逆用在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需

3、要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。例4、求的值。分析：先看角，都是，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。解：原式(切割化弦)(逆用二倍角公式)(常数变换)(逆用差角公式)(逆用二倍角公式)。这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解

4、。三角函数变换的方法与技巧(2)在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：一、引入辅助角可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。例5、求的最大值与最小值。分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。解：其中，，当时，；当时，。注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。一、幂的变换降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用

5、降幂处理的方法。常用的降幂公式有：，和等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式常用升幂化为有理式。例6、化简。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式二、消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例7、求函数的最值。解：原函数可变形为：，即，解得：，。三、变换结构在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。例8、化简。分析：本题从“形式”上看，应把分析式化

6、为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。解：所以。九、思路变化对于一道题，思路不同，方法出随之不同。通过分析，比较，才能选出思路最为简例9、求函数的最大值。解：由于，则为点与点()连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：O(－２，０)此时，。捷的方法。三角函数最值与综合应用一、求三角函数最值的一般方法1.用三角发求解三角函数的最值常见的函数形式（1），其中，（2）可先降次，整理转化为一次形式。（3）可转化为只有分母含或函数式，或的形式，有正、余弦函数的有界性求解。2.用代数发求

7、三角函数的最值常见的函数形式（1）可转化为的二次函数式。（2），令，则转化为的最值，一般可用图像。（3），一般用万能公式转化为关于的二次方程，由“判别式法”求其最值；或转化为关于的函数式后噶偶早应用“均值不等式”及“单调性”求其最值，也可以将函数式转化为的形式，由正余弦的有界性求最值。3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式或可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。二、求三角函数值域的常用方法求三角函数的值域除了判别式、总要不等式、单调性等方法除外，结合三角函数的特点还有以下常用方法：1.涉及正、余弦

8、函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理2.型,其中,再利用有界性处理。3.形如或的函数求最值是都可以通过适当变换，通过配方法来求解。4.形如，在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令，则。把三角问题化归为代数问题解决5.形如型或能确定所给函数在某区间上单调，可考虑利用单调性求解。例1.求下列函数的值域（1）（2）变式1.求函数的值域变式2.求函数的最值及对应的的集合Ⅰ练习：一、选择题1