三角函数变换的方法

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1、三角函数变换的方法　　摘要：三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换，三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换，这就需要熟练地掌握计算公式，掌握角的变化，注意角的范围变化。同时体会三角变换在各领域的应用和方法技巧。　　关键词：三角变换公式方法应用　　【中图分类号】G633.6　　在三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换，这就要求我们熟记三角公式以及一些基本的化简方式和方法，三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换。为此，要提高学生的运算能力，必须做到：　　一、学生熟练地掌握计

2、算公式。1、要求学生自己推导两角和与差、二倍角的正余弦公式。除了对公式结构的掌握，也要会对角度进行变换。例如：sin2a=2sina*cosa，可以变换sina=sina/2*cosa/2等。2、公式的逆用。当学生对于公式的正用掌握比较熟练时，为了强化公式的掌握教师可以采用题组的方法，训练学生公式的逆用，例如：cosa*cosb-sina*sinb=？Cosa*cosb+sina*sinb=？Cos720cos240+sin720sin240=？Sina/2cosa/2=？　　2cos2a-1=？2cos222.

3、50+1=？等。3、利用化归思想进一步训练学生对公式的掌握。例如：1/2cosa+√3/2sina=？引出一般Asinb+Bcosb=√A2+B2sin（b+a）　　二、学生熟练掌握角的变化。为了提高学生的运算能力，除了熟练掌握公式外，还要学会在计算中对于角度的整体把握。例如：已知：sina=4/5，cos（a+b）=-3/5，a，b∈（0，∏/2）求：sinb　　给出题目后，让学生先进行计算，程度较好的学生可能就不会走这条路线，根据题目条件求出cosa，再求出cosb.这样的话费时费力，引导学生从角的结构入手，

4、发现b=a+b-a从整体去把握。还有2a=（a+b）+（a-b），2b=（a+b）-（a-b）等，还有很多，在教学中要引导学生注意这些角度的变化，在实际解题中能够提高学生的运算水平。　　三、学生注意角的范围变化，在运算中对角的取值范围变化设计陷阱，用试误法提高学生的警觉，以利于学生运算的准确性。在教学中充分发挥学生的主动性，培养学生的观察能力，比较公式的结构特点，角度的变化，在三角恒等变换的学习中，学生定能取得好的成绩。　　因为方法多样，灵活，学生感到困难，针对这个问题，我在三角函数这一章的讲课和复习中，选择典型

5、例题，讲清三角函数式变换的方法和技巧，并布置适当练习作业，巩固和掌握三角函数式变换的方法和技巧，以达到学生能熟练正确的解决三角函数问题的目的，今将这部分内容归纳整理如下：　　一、三角变换在求值中的应用　　例1.求的值.　　在利用三角变换化简的过程中主要是对角和三角函数名的化异为同，本道题主要是针对角而言的，对于这种情况关键还是要能观察出角与角之间的关系，然后根据角的“异”通过公式化成角的“同”，也就是我们熟悉的形式，然后进行求解。再例如：已知，且，，求。　　分析：发现所求角与已知角有如下关系：，）.从而将倍角化为

6、和差角.　　解：由，得　　又因为，得.　　所以　　所以　　点评：充分利用条件，将2，2转化为和差角，再运用公式.　　二、三角变换中“1”的恒等变形　　三角函数值为1和含有1的三角公式不少，如　　等，在恒等变形中巧妙利用1会找到简捷解法的。　　再例如：化简都需要将1变形.又例如：已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值，这时就需要将1整体代换，即：令t=cosx+cosy，　　于是我们有　　所以，又因为，故，则所求最大值为.　　当然，不能每见到1就想到三角变换，这是根据实际问题而考虑的，有的时候并不

7、需要1的恒等变形，如：求函数f（x）=sin2x-sinx+1等这样定义域与1无关的问题中。　　三、三角变换在证明问题中的体现　　证明问题常常用综合法、分析法，但有时也还是离不开三角变换。如例4：　　解答：先用分析法探索证明思路，假设　　然后用综合法写出证明即可。　　在证明问题中，三角变换时也是从“角”和“形”两方面入手，然后结合分析法和综合法解决问题。再例如：　　四、三角函数变换在函数求值域、单调性、对称等问题中的应用　　例5.已知函数f（x）=2cos2x+sin2x+m（mR）.若x[0，]，且f（x）的最

8、小值是2，求m的值.　　解：由已知得f（x）=1+cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m+1.当x[0，]时，2x+[，]，此时当2x+=时，f（x）的最小值是+m+1=2，∴m=2.　　点评：这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决.但不管是求值域问题，最值问题还是单调性、对称性问题在三角函数中