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时间:2018-09-05
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1、三角函数变换的方法 摘要:三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换,三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换,这就需要熟练地掌握计算公式,掌握角的变化,注意角的范围变化。同时体会三角变换在各领域的应用和方法技巧。 关键词:三角变换公式方法应用 【中图分类号】G633.6 在三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换,这就要求我们熟记三角公式以及一些基本的化简方式和方法,三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换。为此,要提高学生的运算能力,必须做到: 一、学生熟练地掌握计
2、算公式。1、要求学生自己推导两角和与差、二倍角的正余弦公式。除了对公式结构的掌握,也要会对角度进行变换。例如:sin2a=2sina*cosa,可以变换sina=sina/2*cosa/2等。2、公式的逆用。当学生对于公式的正用掌握比较熟练时,为了强化公式的掌握教师可以采用题组的方法,训练学生公式的逆用,例如:cosa*cosb-sina*sinb=?Cosa*cosb+sina*sinb=?Cos720cos240+sin720sin240=?Sina/2cosa/2=? 2cos2a-1=?2cos222.
3、50+1=?等。3、利用化归思想进一步训练学生对公式的掌握。例如:1/2cosa+√3/2sina=?引出一般Asinb+Bcosb=√A2+B2sin(b+a) 二、学生熟练掌握角的变化。为了提高学生的运算能力,除了熟练掌握公式外,还要学会在计算中对于角度的整体把握。例如:已知:sina=4/5,cos(a+b)=-3/5,a,b∈(0,∏/2)求:sinb 给出题目后,让学生先进行计算,程度较好的学生可能就不会走这条路线,根据题目条件求出cosa,再求出cosb.这样的话费时费力,引导学生从角的结构入手,
4、发现b=a+b-a从整体去把握。还有2a=(a+b)+(a-b),2b=(a+b)-(a-b)等,还有很多,在教学中要引导学生注意这些角度的变化,在实际解题中能够提高学生的运算水平。 三、学生注意角的范围变化,在运算中对角的取值范围变化设计陷阱,用试误法提高学生的警觉,以利于学生运算的准确性。在教学中充分发挥学生的主动性,培养学生的观察能力,比较公式的结构特点,角度的变化,在三角恒等变换的学习中,学生定能取得好的成绩。 因为方法多样,灵活,学生感到困难,针对这个问题,我在三角函数这一章的讲课和复习中,选择典型
5、例题,讲清三角函数式变换的方法和技巧,并布置适当练习作业,巩固和掌握三角函数式变换的方法和技巧,以达到学生能熟练正确的解决三角函数问题的目的,今将这部分内容归纳整理如下: 一、三角变换在求值中的应用 例1.求的值. 在利用三角变换化简的过程中主要是对角和三角函数名的化异为同,本道题主要是针对角而言的,对于这种情况关键还是要能观察出角与角之间的关系,然后根据角的“异”通过公式化成角的“同”,也就是我们熟悉的形式,然后进行求解。再例如:已知,且,,求。 分析:发现所求角与已知角有如下关系:,).从而将倍角化为
6、和差角. 解:由,得 又因为,得. 所以 所以 点评:充分利用条件,将2,2转化为和差角,再运用公式. 二、三角变换中“1”的恒等变形 三角函数值为1和含有1的三角公式不少,如 等,在恒等变形中巧妙利用1会找到简捷解法的。 再例如:化简都需要将1变形.又例如:已知sinx+siny=1,求cosx+cosy的最大值,这时就需要将1整体代换,即:令t=cosx+cosy, 于是我们有 所以,又因为,故,则所求最大值为. 当然,不能每见到1就想到三角变换,这是根据实际问题而考虑的,有的时候并不
7、需要1的恒等变形,如:求函数f(x)=sin2x-sinx+1等这样定义域与1无关的问题中。 三、三角变换在证明问题中的体现 证明问题常常用综合法、分析法,但有时也还是离不开三角变换。如例4: 解答:先用分析法探索证明思路,假设 然后用综合法写出证明即可。 在证明问题中,三角变换时也是从“角”和“形”两方面入手,然后结合分析法和综合法解决问题。再例如: 四、三角函数变换在函数求值域、单调性、对称等问题中的应用 例5.已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+m(mR).若x[0,],且f(x)的最
8、小值是2,求m的值. 解:由已知得f(x)=1+cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1.当x[0,]时,2x+[,],此时当2x+=时,f(x)的最小值是+m+1=2,∴m=2. 点评:这类题目解决的思路是把问题化归为的形式,一般而言,,但若附加了x的取值范围,最好的方法是通过图象加以解决.但不管是求值域问题,最值问题还是单调性、对称性问题在三角函数中
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