经典三角函数变换的技巧与方法最终版

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1、三角函数变换的方法与技巧(1)一、凑角法在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。例1、已知，求证：。分析：在条件中的角和与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。解：，，例2　求的值．解析　原式=sin20°+4sin20°cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin⁡（60°-20°）cos20°=3．评注　三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差

2、异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．练一练：1、已知cos(2A-B)=-1114，sin(A-2B)=437,0

3、值2；当时，去最小值-1。练习（2010北京理数）（15）（本小题共13分）www.@ks@5u.com已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。解：（I）（II）==,因为，所以，当时，取最大值6；当时，取最小值一、常数“1”的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，等等。例4、求函数的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子可联想到。解：。所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。例5（2010上海文数）19.（本题满分12分）已知，化简：lgcosx∙tanx+1-2sin2x2+lg2cosx-π4-lg⁡(1+si

4、n2x).解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．练习：1、已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（β-γ）的值等于(过河拆桥)2、已知α+β=45°，求（1+tanα）（1+tanβ）的值3、求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…(1+tan44°)（1+tan45°）一、降幂法（逆用公式）在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我

5、们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。例6（2010湖南文数）16.（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II)求函数的最大值及取最大值时x的集合。例7（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（1）解：由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小

6、值为-1（Ⅱ）解：由（1）可知又因为，所以由，得从而所以练习（2010湖北文数）16.（本小题满分12分）已知函数(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。练习（2010山东文数）这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。三角函数变换的方法与技巧(2)[上期回顾练习]（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）（3）已知A、B为锐角，且满足，则＝___（答：）；（4）设中，，，

7、则此三角形是____三角形（答：等边）（5）若，化简为_____（答：）；（6）函数的单调递增区间为____（答：）在上一部分我们介绍了部分三角函数的变换技巧与方法，下面我们再介绍两种变换的方法与技巧：一、消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例7、求函数的最值。解：原函数可变形为：，即，解得：，。六、图像转化法对于一道题，思路不同，方法出随之不同。求函数的最大值。解：由于