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时间:2020-02-28
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1、三角函数中三角变换常用的方法和技巧一、角的变换当已知条件中的角与所求角不同时,需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化,一般是寻求它们的和、差、倍、半关系,再通过三角变换得出所要求的结果.例1 函数的最小值等于( ).(A) (B) (C) (D)解析:注意到题中所涉及的两个角的关系:,所以将函数的表达式转化为,故的最小值为.故选(C).评注:常见的角的变换有:,,,,,.只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往会发现角之间的关系.例2、已知均是锐角,求。解:小结:本题根据问题的条件和结论进行的变换。例3、已
2、知cos(,sin(-)=,且求分析:观察已知角和所求角,可作出的配凑角变换,然后利用余弦的差角公式求角。解:例4、已知求证:分析:由角的特点,因已知条件所含角是所证等式含角所以以角为突破口。证明:小结:抓住题设与结论中角的差异,利用角的和,差,倍等关系,变不同的角为同角,在三角变换中角的变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式,因此,对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径,正确选用三角变换公式,通过变换尽量减少三角函数的种类,可以使问题得到快速的解决.例1、若sin(
3、α+β)=,sin(α—β)=,求解:由sin=(α+β)=,sin(α—β)=得∴==例2、当时,函数的最小值是( ).(A) (B)(C) (D)解析:注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式,所以,分子与分母同时除以转化为关于的函数进行求解.因为,所以,所以.故选(A).评注:切、割化弦,弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法:(1)若所给的三角式中出现了“切、割函数”,则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明;(2)若所给的三角式中出现了“弦函数”与
4、“切函数”,有时可以利用公式将“弦函数”化为“切函数”进行解答.例3、化简:解:原式例4、已知,求的值。解:∵,∴点评:在求值、化简、恒等式证明中,切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数,是低次的升次,还是高次的降次,要充分结合题中的要求,正确选用半角公式或倍角公式等三角公式,达到次数的统一.例1、 已知为第二象限角,且,求的值.分析:由于已知条件中知道的值,而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角,因此可利用同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答.解:原式当为
5、第二象限角,且时,,,所以.评注:解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式,消去常数1.例2、求值:解:原式:======注:怎样处理sin320°和是本题的难点,解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。四、常数变换例1、已知,求的值.分析:由已知易求得的值,而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式,而分子是常数1,可将1化为,再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解.解:由,得,于是原式.评注:对于题中所给三角式中的常数(如:等),比照特殊角的三角函数值,将它们化为相应的三角函数
6、,参与其它三角函数的运算,在解题中往往起着十分奇妙的作用.例2、求值(—)·解:∵—======32cos20o∴原式=32五、消参变换当题设或结论中含有参数时,我们可以采用消去参数法来解决.例1、已知,且,.求证:.分析:由于已知和结论中都含有参数,所以我们可以把已知变形,求出,代入化简,即可证得等式成立.评注:在解答含有参数的等式证明问题时,我们往往可以采用这种办法.本例并未给出证明过程,同学们可试着自己完成.六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻,多向变幻,这是灵活,深刻地使用公式所必须的,尤其是三角公式众
7、多,把这些公式变活,显得更加重要。三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα=,tanα±tanβ=tan(α+β)(1tanαtanβ)等。例1:求值:解:先看角,都是12°;再看“名”,需将切割化为弦,最后在化简过程中再看变换。原式=(切、割化为弦)==(逆用二倍角)=(常数变换)=(逆用差角公式)==-4(逆用二倍角公式)注:要养成逆用公式的意识,熟悉教材给出的三角基本公式的同时,如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。例2、求的值。解:原式=小结:对于两个角的正切的三角函数的和与积的形
8、式的求值问题,通常利用的变形式例3、求的值。又例4、若αβ为锐角且满足sinα—sinβ=—,cosα—cosβ=,求tan(α—β)的值。解:由题中条件把两等式平方相加得sin2α—2sinαsinβ+sin2β+cos2α—2cosαcosβ+cos2β=即
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