常用三角恒等变换技巧(师)

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1、实用标准文案常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系

2、，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1已知，，求的值。【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。【简解】因为，所以，又因为，所以，，从而，.原式=.【反思】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和.但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由，运用诱导公式和倍角公式求出。例2已知，其中，求证：【分析】所给条件中出现的“已知角”

3、是与，涉及的“未知角”是与，将三个角比较分析发现，，把“未知”角精彩文档实用标准文案转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。【简证】【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，，，，，等.二、“名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题

4、常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式，平方关系也能进行名变换。例1已知向量，，求的定义域和值域；【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】由得，，所以，.的定义域是，值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.精彩文档实用标准文案例2已知都是锐角，且，求的值。【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和

5、差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】显然时，，因为都是锐角，所以，所以，.【简解2】由得，，设，则，所以，，，即.【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.三、“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如，，等.例1（1）求证:；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母

6、都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.【简解】（1）左边=.精彩文档实用标准文案（2）原式=【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.四、“边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例在中，分别为角的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(

7、2c+b)sinC，（1）求角的大小；（2）若，证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【简解】（1）（角化边）由正弦定理得，，整理得，，所以，因为，所以.（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，即，从而，又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，，代入得，，所以，，所以，，是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2

8、）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件精彩文档实用标准文案化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.五、“升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，，，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例