二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布

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1、考研教育网www.cnedu.cn_数学讲义二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布主讲：姚孟臣对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即有　　　　则称为连续型随机向量；并称的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。　　分布密度具有下面两个性质：　　　　一般来说，当（X，Y）为边疆型随机向量，并且其联合分布密度为，则X和Y的边缘分布密度为　　　　例2设（X，Y）的联合分布密度为考研教育网　　　　试求：（1）常数C；（2）P{0＜X＜1，0＜Y＜2｝；（3）X

2、与Y的边缘分布密度　　解（1）由的性质，有　　　　即C=12　　　　（3）先求X的边缘分布：　　①当x＜0时，，于是　　　　②当x≥0时，只有y≥0时，，于是　　报名咨询电话：010-82335666咨询时间：全天24小时服务（周六、周日及节假日不休息）考研教育网www.cnedu.cn_数学讲义　　因此　　　　同理　　　　下面介绍两种常见的连续型随机向量的分布：　　（1）均匀分布　　设随机向量（X，Y）的分布密度函数为　　　　其中为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～

3、U（D）。　　在以后的讨论中，我们经常遇到的区域D有下面八种情况：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　报名咨询电话：010-82335666咨询时间：全天24小时服务（周六、周日及节假日不休息）考研教育网www.cnedu.cn_数学讲义　　　　　　　　问题：试求出上面八种情况下二维均匀分布的边缘分布，以为例，其步骤如下：　　（ⅰ）先用联立不等式表示区域：　　　　（ⅱ）写出联合分布密度函数：由均匀分布的定义，　　　　考虑到，因此考研教育网　　　　（ⅲ）分别求出X与Y的边缘分布，

4、这里分两种情况来讨论X的边缘分布：　　①当x＜0或x＞1时，，于是　　　　②当0≤x≤1时，只有0≤y≤x时，,于是　　　　同理，可求出Y的边缘分布　　　　例3设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中　　报名咨询电话：010-82335666咨询时间：全天24小时服务（周六、周日及节假日不休息）考研教育网www.cnedu.cn_数学讲义　　考研教育网　　求X的边缘密度　　解区域D实际上是以（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1）为顶点的正方形区域（见图3.9），其边长

5、为，面积，因此（X，Y）的联合密度是　　　　　　即　　　　　　（2）正态分布　　设随机向量（X，Y）的分布密度函数为　　　　其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为　　　　由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即　　考研教育网报名咨询电话：010-82335666咨询时间：全天24小时服务（周六、周日及节假日不休息）