第八章mathematica在量子力学中的应用举例

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1、第八章Mathematica在量子力学中的应用举例第八章Mathematica在量子力学中的应用举例1Mathematica特点Mathematica:以C语言写成的计算机符号处理系统特点:集强大的符号运算、任意精度的数值计算、图形显示功能于一身工作方式:交互式(以用户与系统之间作信息与数据的交流方式完成计算)批处理(以运行程序和程序包的方式完成计算)2计算机符号系统在物理中的运用计算机符号系统在物理中的运用:往往是数学建模中的重要工具)1作为工具包,完成大量重复而耗时的运算;2作为快速而准确的推导公式的工具,提高工作效率;3利用系

2、统的图形功能,帮助人们直观地理解运算结果,建立物理图象。工作流程:(1)分析要研究的物理对象的特点,进行数学推导,给出易于编程的数学形式;(2)结合数学形式,采用相应的计算方法;编程;运算;(3)分析运算结果,研究运算的效率,并从物理特性判断运算的正确性,改进算法;(4)再编程,再运算。最后形成一个封装的软件包。38.0节:在量子力学中运用例子?一维无限深方势阱Mathematica已经在很多领域得到运用。本节用一个量子力学中的经典问题来演示运用Mathematica的方法及过程。U0Ua∞一个粒子在无限深方势阱中,其势函数的图示为

3、:2ψx2粒子在势阱中满足薛定谔方程为:ψ0ψa0?kψx边界条件:2x2mE2k其中:2h''2ψ[x]/.DSolve[ψ[x]?kψ[x],ψ[x],x][[1]]/.C[2]→B,C[1]→A求解薛定谔方程:考虑在x0处的边界条件得B0得到方程的解:Bcos[kx]+Asin[kx]nπψaAsinka0在xa处:此式在kanπ?k成立。na''2genresult[n_,a_,x_]ψ[x]/.DSolve[ψ[x]?kψ[x],ψ[0]0,ψ[x],x][[1]]/.C[1]→A,k→nπ/a]解之:nπx得到:Asin

4、[]4a8.0节:在量子力学中运用例子?一维无限深方势阱∞a22ψxdxψxdx1对波函数积分:利用归一化条件求得系数A:∫∫∞02Aa2得到:aintFullSimplify[Integrate[genresult[n,a,x],x,0,a],n∈Integers]22令积分值等于1,求得A:anormA/.Solve[aint1,A][[2]]a代入A值,得到波函数:ψ[n_,a_,x_]genresult[n,a,x]/.A→normnπx2sin[]a波函数为:a封装后,就可以得到一个计算无限深方势阱中粒子的波函数的工具包。

5、a1,n1a1,n2a1,n3a1,n458.1节:在量子力学中运用例子?中心力场中的运动问题(运用于原子结构,原子核结构等研究)mMe设电子与原子核的约化质量为μm+Memμ≈m(由于原子核质量远大于电子的质量,因而)Mee2Ze球对称的中心力场势函数为Vrrr2222hph?系统的哈密顿量:8.1.1H+Vr+Vr2μ2μr其中为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。与中心力场相关的基本理论:2?h?2?+VrψEψ薛定谔方程:ihψHψ?能量本征方程:2μt6中心力场中的运动问题(相关的基本理论)利用中心势的球对称性,薛定谔方

6、程写为在球坐标中的表示为22?h1?128.1.2r+sinθ+ψr,?,E?Vrψr,?,2222μr?r?rsinθθθsinθ2H,L,L在求解中心力场作用下粒子的能量本征方程时,构成对易算符的z一个完全集,因而选择它们为力学量完全集是很方便的。相应的本征值问题的解就完全决定了系统的特性。利用角动量守恒的性质,将三维的薛定格方程的求解化为一维的微分方程求解。利用公式21?L?22Δ≡r8.1.3?22?r?rrh其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为:2?1?1228.1.4Lhsinθ+22sinθθθsinθ7中心力场中

7、的运动问题(相关的基本理论)薛定谔方程8.1.2则可以写为22h?L?28.1.5rψr,θ,E?Vψr,θ,?22?r?r2μrhψr,θ,θπ/2≤θ≤π/20≤≤π波函数与极角和方位角的关联2?和L决定。是由算符Lzψr,θ,可以分离变量表示为假定满足薛定谔方程的本征波函数8.1.6ψr,θ,≡RrYθ,≡RrΘ?Φ?L?ih在球坐标系中可以表示为:,该算符的本征值由求解本征方程其中zLz?ihΦLΦz?8.1.7iL/hzΦAe其解为8.1.88中心力场中的运动问题(相关的基本理论)由于(8.1.8)式所示波函数解必须唯一确

8、定,因而它也必定满足条件:L,并且角动量算符的本征值应当是离散的,其本征值表示为:ΦΦ2π+zLmh,m0,±1,±2,.方程(8.1.7)归一化的解可以写为z1imΦe8.1.92π另一个守恒量-角动量平方,其本征方程为:2?1?1