Mathematica数值计算在量子力学谐振子的应用

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1、Mathematica在量子谐振子的应用杨宇轩南漳县第二中学摘要：本文使用数值计算的方法，解量子力学中的谐振子的薛定谴方程，得到波函数和能量本正值间的关系。关键词：量子谐振子；数值计算；能量本征值；波函数；Mathematica引言在自然界中存在大量的振动现彖。经典物理中，复杂的振动系统往往可以分解为若干个简单的简谐振动，而这些做简谐振动的系统就是具冇深刻意义的谐振子系统。因此对于经典物理，对于谐振子的研究形成了振动理论的人部分内容。同样地，在量子力学的力学系统中一个简单而有意义的例子是谐振子。谐振子对于普遍理论有重要的意义,因为它是形成辎射理论的基础。在普遍理论中，对于谐振子动力

2、学方程的求解最终归结为求解二阶线性微分方程。经典理论中对于谐振子的求解是非常容易的，然而,在量子力学中，谐振子的求解就是求解谐振子的薛定谱方程；对于薛定谡方程的求解却并不容易，需要借用特殊函数才能求解。本文将采用数值计算的方法，通过波两数的"然条件，分析得川-•维谐振子的能量本正值应当满足的条件。（刈谐振子的薛定铐方程199考虑-个作-维小振动的粒子（线性振子），该粒子的势能为：-谕X⑴222Q-pmorX该振子的哈密顿量⑷为：片=J+（2）2in2可以得到谐振子定态薛定誇方程⑷为:V22/Z7(3)通过求解数学物理方程以及一些特殊函数，可得到谐振子的波动方程为:(4)列出,乞的前

3、五项叫〃«）=1〃&）=〃2（§）=4§2_2（5）H&）=皤一12孑//&）=16列-4垮+12〃5（§）=32学一160孑+120§由，公式（4）、（5）,我们可以看出，对丁•波函数及其一阶导数满足：乞,(0)=0当n=2k+(7)応(0)=0当n=2k(8)其中，k=0,1,2,3...谐振子的能量的数值分析通过化简，谐振子的能量木征值方程⑸，可以写为:=(孑一心屮(9)其中,2EtlO)经过求解，我们得到7T=2/7+1刀=0,1,2,3.••(10)下面，将通过数值计算说明山波函数的自然条件《必须取奇数。山公式(7).(8),可以确定波函数需要满足的初始条件。在此，不妨

4、取:当n=2k时乞(0)=1；0：(0)=0当/7=2A+1时，0打(°)=0；応(0)=1为了说明问题，由公式(9)直接使用数值计算的方法，直接得到波函数图象。将斤的值保留到6位有效数字。当取K=0.9,K=0.999999,7T=L000001,分别得到丫«)—§图像为:Figure2K二0.999999Figure3K=L1经过求解，我们得到7T=2/7+1刀=0,1,2,3.••(10)下面，将通过数值计算说明山波函数的自然条件《必须取奇数。山公式(7).(8),可以确定波函数需要满足的初始条件。在此，不妨取:当n=2k时乞(0)=1；0：(0)=0当/7=2A+1时，0打

5、(°)=0；応(0)=1为了说明问题，由公式(9)直接使用数值计算的方法，直接得到波函数图象。将斤的值保留到6位有效数字。当取K=0.9,K=0.999999,7T=L000001,分别得到丫«)—§图像为:Figure2K二0.999999Figure3K=L1K=l.000001■IO从Figure1-4町以看出，在X从小于1变化到大于1的过程，波函数在较大的歹值处，图像尾部会发牛翻转；并且，从图中也可以看到，虽然在大于（小于）1范围斤的取值不同，波函数图像会有变化，但是波函数图像的整体趋势是一样的。当斤的值与1越接近,波函数在较大的§值处越接近0。因此有理由相信，在/T取值不

6、断的逼近1时，我们定能得到在较大§处趋于零的波函数，这匸是波函数的标准条件所要求的。当选择斤二3,5吋，也可以发现这样的规律。0.20.4Figure6K二2.999999nFigure7K=3・1IIIFigure5-8可以看岀，在斤从小于3变化至人于3的过程，波函数的图像确实发生了翻转。并越接近3波函数在较大的纟值处越接近0。Figure9K二4.9999991O-Figure10K二5.1//Figure11K=l.999999从Figure9-10,可以发现，当斤在5附近变化时，波函数确实发主了翻转。因此，可以断言，当《二5定能得到在较人的§值处越接近0的波函数。在Figu

7、rell-12,随意选择彳在2附近，我们发现波函数在较大的§值处向无穷远处发散，也就是斤取偶数值是不满足波函数的标准条件，这和前面的讨论屮，确定&的值为奇数的结论相符。，结论借助Mathematica对量子力学中的谐振子的能量本证方程,利用数值法作了直接的定性分析，从侧而说明了，为了能满足波函数的标准条件能量本征值必须满足：E=(门+—)^6977=0,1,2,3...(11)2本文借助数值计算的定性方法,确实说明了谐振子能量収分离值是波函数的标准条件要求的必然结果。