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1、第八章Mathematica在量子力学中的应用举例§8.1粒子在中心力场中的运动问题mMZe2e设电子与原子核的约化质量为μ=,V(r)=−，哈密me+Mr顿量为2rˆ222ˆhph∇H=+V(rˆ)=−+V(r).2μ2μ其中r为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。利用中心势的球对称性，球坐标中的薛定格方程写为2⎡2⎤h∂⎛2∂⎞⎛1∂⎛∂⎞1∂⎞−2⎢⎜r⎟+⎜⎜⎜sinθ⎟+22⎟⎟⎥ψ()r,ϑ,ϕ=()E−V()rψ()r,ϑ,ϕ.2μr⎣∂r⎝∂r⎠⎝sinθ∂θ⎝∂θ⎠sinθ∂ϕ⎠⎦rrr[Lˆ,Hˆ=角动量
2、算符的定义为：L=x×p。可以证明]0，所以角动量Lˆ是守恒量，即在中心力场中运动粒子的一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到Lˆ2（角动量的平方）也是守恒量。在求解中心力场作用下粒子的能量本征方程时，()ˆ,ˆ2,ˆHLLz构成对易算符的一个完全集。1⎡∂⎛∂⎞Lˆ2⎤22Δ≡∇=2⎢⎜r⎟−2⎥.r⎣∂r⎝∂r⎠h⎦其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为：2ˆ22⎧1∂⎛∂⎞1∂⎫L=−h⎨⎜sinθ⎟+22⎬.⎩sinθ∂θ⎝∂θ⎠sinθ∂ϕ⎭薛定格方程则可以写为h2⎡∂∂Lˆ2⎤⎛2⎞−2⎢⎜r⎟−2⎥ψ()r,θ
3、,ϕ=()E−Vψ()r,θ,ϕ.2μr⎣∂r⎝∂r⎠h⎦波函数ψ()r,θ,ϕ与极角θ（−π/2≤θ≤π/2）和方位角(0)Lˆ2ˆϕ≤ϕ≤π的关联是由算符和Lz决定的。假定满足薛定格方程的本征波函数ψ()r,θ,ϕ可以分离变量表示为ψ(r,θ,ϕ)≡R()(rYθ,ϕ)≡R()()()rΘϑΦϕ.ˆ∂Lˆz在球坐标系中可以表示为：Lz=−ih.该算符的本∂ϕ征值由求解本征方程∂−ihΦ()ϕ=LΦ()ϕz，∂ϕ来得到。上面方程的解为()iLzϕ/hΦϕ=Ae.由于上式所示波函数解必须唯一确定，因而它也必定满足条件：Φ()ϕ
4、=Φ(2π+ϕ)，并且角动量算符Lˆz的本征值应当是离散的，其本征值表示为：Lz=mh，(m=0,±1,±2,...).由本征波函数的归一化条件，归一化的解可以写为1()imϕΦϕ=e.2π类似地，对另一个守恒量-角动量平方，我们有本征方程：⎧2⎫2()21∂⎛∂⎞1∂()()2LˆYθ,ϕ=−h⎨⎜sinθ⎟+⎬Yθ,ϕ=LYθ,ϕ.22⎩sinθ∂θ⎝∂θ⎠sinθ∂ϕ⎭上面方程的解是球谐函数Yl,m。如果本征值满足22L=l(l+1)h，方程写为2⎧1∂⎛∂⎞1∂⎫()⎨⎜sinθ⎟+22+l(l+1)⎬Yl,mθ,ϕ=
5、0.⎩sinθ∂θ⎝∂θ⎠sinθ∂ϕ⎭Lˆ2作用在球谐函数Y角动量算符l,m上的本征值由角量子数l=0,1,2,...决定。对应于确定的角量子数l，算符Lˆ22本征值则为l(l+1)h，此时磁量子数m则描写该角动量在z轴上的投影，它的取值范围为：m=0,±1,±2,...,±l。这就是说：对确定的角动量量子数l，应当有2l+1个本征函数Yl,m。对磁量子数m为正时的情况，球谐函数的完整表达式为m()l−m!()2l+1m()imϕY()()θ,ϕ=−1Pcosθel,m()ll+m!4πm其中Pl()x为l阶的第m个伴随勒让
6、德函数。如果磁量子数为负时（−m），其球谐函数满足如下关系式(l−m)!()()m*()Yθ,ϕ=−1Yθ,ϕl,−m()l+m!l,m.LˆY≡−ih∂Y=mhYzl,m∂l,ml,m.ϕ因而球谐函数Lˆ2Yl,m既是角动量算符平方，也是角动量算符的z分量ˆLz的本征函数。在Mathematica中球谐函数表示为SphericalHarmonicY[]。勒让德多项式表示为LegendreP[]。本征波函数ψ()r,θ,ϕ表示中的径向部分R()r应当满足的方程。2⎧2+⎫dR2dR2μ⎡Ze⎤l(l1)dr2+rdr+⎨2⎢E
7、+r⎥−2⎬R=0.(8.1.15)⎩h⎣⎦r⎭Z为原子核所带正电荷数。对于氢原子Z=1，而类氢原子++++++（He,Li,Be...等），Z≠1。下面我们以氢原子为例进行分析。2h−11a=≈5.29×10m定义波尔半径02为长度单位，即ρ=r/a0;以氢原子mee24emeeE==≈13.5eV04=EE的电离能量2a0h为能量单位，即ε0；定义径向函数R(ρ)=u(ρ)/ρ。这时方程(8.1.15)写为2du(ρ)⎡2Zl(l+1)⎤+⎢ε+−⎥u(ρ)=022dρ⎣ρρ⎦.(8.1.16)能量ε的值是由方程(8.1.
8、16)的本征值和本征函数决定的。考虑稳定状态（束缚态），即ε<0的状态。函数u(ρ)可以表示为多项式或者指数形式。为了找出u(ρ)的近似式，通过考察它在r→0和r→∞时的极限行为，发现由波函数的幺正性条件要求上述两种表达方式下都可以推出l+1−γρu(ρ)=ρef(ρ)l.(
