第十一章群、环、域

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1、第十一章群、环、域11.1半群内容提要11.1.1半群及独异点定义11.1称代数结构为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．定理11.1设为一半群,那么（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．定理11.2设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象为一半

2、群．（2）当为独异点时，则为一独异点.定理11.3设为一半群,那麽（1）为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到SS的半群同态．11.1.2自由独异点定义11.2称独异点为自由独异点（freemonoid）,如果有AÍS使得（1）eÏA．（2）对任意uÎS，xÎA,u*x¹e.自由独异点（freemonoid）,如果有AÍS使得（3）对任意u,vÎS，x,yÎA,若u*x=v*y,那么u=v,x=y．（4）S由A生成,即S中元素或者为e,或者为A的成员，或者

3、为A的成员的“积”:ai1*ai2*…*aik(ai1,ai2,…,aikÎA)集合A称为S的生成集．顺便指出，当半群有生成集A＝｛a｝时，称为循环半群（cyclicsemigroups）。为一自由独异点，A为它的生成集，g:S´A´M→M为一已知函数，m为M中已知元素，那么下列等式组定义了一个S到M的函数f；其中wÎS,xÎA。定理11.5设和为两个自由独异点，A，B分别为它们的生成集，且

4、A

5、=

6、B

7、，那么和同构。*1

8、1.1.3半群及高斯半群定义11.3设为一半群，那么（l）当*满足交换律时，称为交换半群（commutativesemigroups）。（2）当S中元素均可约时，称S为可约半群（cancelablesemigroups）．（3）称S中元素a是b的因子（factor），如果有S中元素c，d，使b=a*c，b＝d*a．（4）在可约交换独异点中，若a是b的因子，同时b又是a的因子，那么称a,b相伴（correlate）．定理11.6设为可约交换独异点,那么S中相伴关系～为上同余关系．定理11.7设

9、*,e>为可约交换独异点。（1）S中元素a，b相伴，当且仅当有可逆元c（c有逆元）,使a=b*c．（2）S中所有可逆元构成一个相伴类（相伴关系等价类）．（3）S的相伴类具有相同的基数．定理11.8可约交换独异点的商半群（～为相伴关系）为一可约交换独异点，且

10、S/～

11、=

12、S

13、/

14、[e]~

15、。定义11.4设为可约交换独异点．若a是S中不可逆元素，且除了a及所有可逆元为其因子外没有别的因子，那么称a为既约元，否则称a为可约元．定义11.5可约交换独异点称为高斯半群(Gausssemigroup)，如

16、果S中不可逆元素均可分解为若干个（有限个）既约元素的积，且这种分解在相伴意义下是唯一的，即若a有两个分解a=p1*p2*…*pr=q1*q2*…*qs则r=s,且（适当变换运算次序）总可使pi与qi相伴。习题解答练习11.11．证明：含么半群的可逆元素集合构成一子半群，即为半群的子半群．证.对任意x，yÎinv（S）,则存在x-1,y-1ÎS使x*x-1=x-1*x=e,y*y-1=y-1*y=e。又半群中*运算满足结合律，因而(x*y)*(y-1*x-1)=x*(y*y-1)*x-1=x*e*x-1=x*x1=e同理(y-1*

17、x-1)*(x*y)=y-1*(x-1*x)*y=e，于是(x*y)-1=y-1*x-1ÎS，即inv（S）对*封闭,从而为的子代数。由定理11.1，为的子半群。2．设为一半群，zÎS为左（右）零元．证明：对任一xÎS,x*z(z*x)亦为左（右）零元。证.因为z为S的左（右）零元，于是，对任意aÎS,z*a=z（a*z=z）。考虑任一xÎS，由于是半群，于是*满足结合律，因而(x*z)*a=x*（z*a）=x*z，a*(z*x)=（a*z）*x=z*x故x*z(z*x)为

18、*>的左（右）零元。3．设为一半群，a，b