高等代数10群,环和域简介.ppt

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1、第十章群，环和域简介§10.1群§10.2剩余类加群§10.3环和域令Ｇ是一个非空集合,它带有一个代数运算,叫做乘:对于任意(a,b)∈G×G,有G中唯一确定的元素,记作ab,与它对应,叫做a与b的积.如果下列条件被满足,那么就说G关于这个乘法作成一个群:(1)对于任意a,b,c∈G都有(ab)c=a(bc)(2)在G中存在一个元素e,叫做G的单位元,它具有性质:对于任意a∈G,ea=ae=a.群定义1(3)对于G的每一个元素a,存在G的一个元素a-1,使得a-1a=aa-1=e.a-1叫做a的逆元.一个群的单位元是唯一的.群中每一个元素a的逆元是由a唯一确

2、定的.令Q+是全体正有理数所成的集合.Q+对于数的乘法作成一个群.同样,全体正实数所成的集合R+对于数的乘法作成一个群.例1定理10.1.1设a1,a2,…,an是一个群G中任意n(n>1)个元素,只要不调换这n个元素的先后次序,用任何一种加括号的方式作乘法所得的结果都相等.设G是一个阿贝尔群.G的任意n(n>1)个元素a1,a2,…,an的乘积a1a2…a3里,因子的次序可以任意调换.一个数域F上的向量空间V对于向量的加法来说作成一个群.例2定理10.1.2定理10.1.3群G的满足下列条件的非空子集H叫做G的一个子群:定义2任意群G本身和只含单位元e的子

3、集{e}显然是G的子群,称作G的平凡子群.1)如果a∈H,b∈H,那么ab∈H;2)如果a∈H,那么a-1∈H.例3设f:GH是一个群同态.设G和H是群,f:GH是一个映射.如果对于G的任意元素a,b,都有定义3f(ab)=f(a)f(b),那么称f是一个同态映射.1)Imf是H的一个子群,Kerf是G的一个子群;2)F是群同构当且仅当Imf=H而Kerf={eG},这里eG是G的单位元3)如果f是群同构,那么f-1:HG也是群同构.定理10.1.4剩余类和群定理10.2.1设n是一个正整数.(i)以n为模的剩余类C0,C1，……Cn-1都是Z的非空子集。(

4、ii)每一个整数一定属于且只属于一个上述剩余类。因而这n个剩余类两两不相交，并且Z=C0∪C1∪……∪Cn-1.(iii)两个整数x与y属于同一个剩余类必要且只要x≡y(modn)定理10.2.2Zn对于如上所定义的加法来说作成一个阿贝尔群。环和域定义1设R是一个非空集合.R带有两个运算,分别叫做加法和乘法,如果下列条件被满足,就称R是一个环:1.R对于加法来说作成一个阿贝尔群;2.R的乘法满足结合律:对于R中任意元素,a,b和c,等式(ab)c=a(bc)成立;3.加法与乘法由分配律联系着:对于R中任意元素a,b和c等式a(b+c)=ab+ac(b+

5、c)a=ba+ca成立;定理10.3.1设R是一个环.(i)对于任意a1,a2,……,an,b∈R,b(a1+a2+……+an)=ba1+ba2+……ban;(a1+a2+……+an)b=a1b+a2b+……anb.(ii)对于任意a,b,c∈R，a(b-c)=ab=ac.(b-c)a=ba-ca.(iii)对于任意a∈R,0a=a0=0.(iv)对于任意a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-(ab).(-a)(-b)=ab.定义2若是在一个环R里，a≠0,b≠0但ab=0,我们就说，a是R的一个左零因子，b是R的一个右零因子.一个环的左零

6、因子和右零因子都叫这个环的零因子.定理10.3.1以下两个条件对于一个环R来说是等价的：（i）R没有零因子；（ii）在R中消去律成立：ab=ac且a≠0=>b=c,ba=ca且a≠0=>b=c,定理10.3.3在一个有单位元的环里，全体可逆元对与环的乘法来说作成一个群.定义3设F是一个有单位元1≠0的交换环.如果F的每一个非零元素都是可逆元，那么就称F是一个域.定理10.3.4设n是一个正整数.Zn是以n为模的剩余类环.(i)如果n是一个合数,那么Zn有零因子.(ii)如果n是一个素数,那么Zn是一个域.定义4设F是一个域.使得p1=0的最小正整数p

7、叫做域F的特征.如果不存在正整数p,使得p1=0,那么就说域F的特征是零.定理10.4.5设F是一个域.(i)如果charF=0.那么对于F中任意非零元素a和n∈Z,na=0n=0.(ii)如果charF=p>0,那么对于F的任意非零元素a,和n∈Z,na=0p

8、n.定理10.4.6设F是一个特征为素数p的域.在F里以下等式成立:(x+y)p=xp+yp,x,y∈F.定义环R的一个满足以下条件的子集S叫做R的一个子环:(i)S对于R的加法来说作成加法群R的一个子群;(ii)如果a,b∈S,那么ab∈S.域F的一个满足以下条件的子集K叫做F的一个子域:

9、(i)K不只含有一个元素;(ii)K是F的一个子环;