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时间：2020-03-18
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1、高等代数课件第一章多项式§1.1数域代数与几何教研室一、数域二、数域的性质三、数学归纳法§1.1数域一、数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除例:复数集C、实数集R、有理数集Q都是数域。注：自然数集N，整数集Z都不是数域．Remark:1.若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的．2.数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域．是一个数域．例1．证明：数集证：又对设则
2、有设于是也不为0．或矛盾）（否则，若则于是有为数域．是数域.类似可证例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一一个数域．有证：由题设任取所以，P是一个数域．时,时,二、数域的性质定理:任意数域P都包括有理数域Q．即，有理数域为最小数域．证明：设P为任意一个数域．由定义可知，于是有进而有而任意一个有理数可表成两个整数的商，设P为非空数集，若则称P为一个数环．Remark例如，整数集Z就作成一个数环．数环:三、数学归纳法1）当时，S成立第一数学归纳法设S是一个与自然数有关的命题，且满足．2）假设当时，S成立，则当时
3、，S成立。1）当时，S成立第二数学归纳法设S是一个与自然数有关的命题，且满足．2）假设S对一切大于或等于而小于的自然数成立，则S对成立。则S对当的一切自然数都成立。作业S是数域吗？２．证明：集合 是一个数环．1．若 为数域，证明： 也为数域．
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