3、[,勺，…,匕)二(01.02,…0$)A，其中A是一个(A0…，卩小…，卩鳥J口=(炕,0"・・，似)肌"矩阵，対任意数匕S-r丿kvk2,--kn,若4伙[,灯,・・・&)‘=0,则kxax4-k2a24-•••krar-0,由于e，$,・•・,％线性无关，得k｝=k2=--=kr=0即线性方程组AX=0只有零解，所以秩A=r,A是一个5xr矩阵，得r<5,再证明可替换性。由秩人=厂，及A是一个5xr矩阵，所以适当调换矩阵A的行，可使得其前r行线性无关，即存在有限个第一类初等矩阵片片・£，仪得PA的前r
4、行线性无关=…弓)。由丁第一类初等矩阵的逆就是口身，所以uPfy.Pj,设心⑷，其屮収"A2)%为(s-r)xr阶矩阵。令〃=MS，…,务)二(0].02，・・・0$)A=(0
5、,02，・「0,JPTPA=(0,M2，・・・0〃.)PA（a（）、（es，…乞,0”+],・・・,仇）1=0，0m…、卩QB因为A]可逆,所以B可逆,Ls-r）于是向量组（s…0卄,…，0J与（久,…，0Q等价。证毕例1设可,勺，6,6④=（1，3,5,6）丁,勺（1，2,4,=（1丄3,2）丁是线性无关的向量组，把该向量组扩
6、充成F"的一个基。解设SSS皿是尸的标准正交基，则5=01，孑2=-02+03（01,0203）=（£
7、，*2,匂）fl11]“11]321321矩阵543543、612；、612丿的第丁是,一，第二及第四行向量线性无关,厂136（Q]SS）=（£
8、，£2，£3，£4）（6Z],OC2,，6）—（可，*2，*3，6）36<5交换奥笫三和第四行,1）123丿，由定理1知121411230、00b,且（a｝,a2,a3,sj是尸4的一个基2Fn的两个子空间的交的基及维数设Q]S，…，乞和01，02,…0$F“中
9、的两个线性无关的向量组%=（a1.,a2p---,aw/,）r,；=l,2,---,r;/7.=（如，优厂…，垢）J=l,2,・・・，s.,以下定理给出求%=厶（知禺，・・・，色，），岭=厶（01，02，・・・禹）・“=%"匕的一个基的方法。定理2设齐次解线性方程组+…xrar+）[0
10、+…儿0$=0的基础解系为N，〃i，…,Z，7=（褊，…—•心），'=1，2,…』令=Ml+灯勺+…kirar；&=A101+402+…人几；心h2,…,/则｛和,乙，…儿｝及｛—•••《｝都是W的一个基证明由维数定理dim（
11、K+V2）=dimCV,）+dim（V,）-dim（V,AK）由于（4）的系数矩阵的秩为dim（V,+V2）,所以其基础解系所包含向量的个数为t=r+s-dim®+V2)=dim®AV2)下面证明---yj是（岭n岭）的一组基因为向塑组设a{yx+a2y2+--anYn=0贝\a}/3i+a2p2+--atpt=0,所以/、a*21(纠0W2,…儿)a.厶■■■=(6ZpCZ2,•••«,.)*12■■■“22■■■•…K勺2••••••a2■■■W丿k2r…你丿宀丿%1"...1Lt/、e••，2
12、2■■...1lt2••••a2•■•■hr••…/blr/■宀丿=(0］，02，・・・0J=0©，也，…勺）和（01，02，・・・0$）均为线性无关的向量组，所以k\“2i...k、/£...1、bt/、%k2*22••••…匕••••■■—■■‘22■■...1lt2••••a2■■••、krk?r••…•4丿•■hr••...1fr7•=0即4角+勺“2+…4"=°而帀，％…G为基础
