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《高等代数选讲 第一讲 数域P上的一元多项式环.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1第一讲数域P上的一元多项式目录下页返回结束2一、数域的定义首页上页下页返回结束3二、例首页上页下页返回结束4首页上页下页返回结束5首页上页下页返回结束6首页上页返回结束三、一元多项式的基本概念其中称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为数域P上的一元多项式.定义2设n是一非负整数,形式表达式常用f(x),g(x),…，或f,g,…来表示一元多项式.设P是一个数域,x是一个符号(或称文字).7四、次数公式定理设f(x),g(x)是数域P上的两个非零多项式,则定义所有系数在数域P上的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为P[x],P称为P[x
2、]的系数域.89(1)式中的g(x)与r(x)分别称为g(x)除f(x)所得的商式与余式.五、带余除法10解故商式余式于是1112六、整除概念及性质定义设f(x),g(x)∈P[x],如果存在h(x)∈P[x],使f(x)=g(x)h(x)则称g(x)整除f(x),记为g(x)
3、f(x),并称g(x)是f(x)的因式,f(x)是g(x)的倍式.当g(x)不整除f(x)时,记为注:(1)“整除”只是多项式间的一种关系而不是一种运算.(2)任何一个多项式g(x)都能整除零多项式.(3)零多项式能且只能整除零多项式.13(4)零次多项式(即数域P中非零数)是任
4、何多项式的因式,且反之亦然.14多项式的整除有如下的一些基本性质:(整除的传递性)1516七、最大公因式例如对于任意多项式f(x),f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式.特别地,两个零多项式的最大公因式就是0(唯一).17这种方法称为辗转相除法.18即两个多项式的最大公因式,如不计零次因式的差异是唯一的.当f(x),g(x)不全为零时,用记号(f(x),g(x))来表示f(x)和g(x)的首项系数为1的最大公因式.由最大公因式定义可知,若都是f(x)与g(x)的最大公因式,则于是由整除的性质,19定理2对任意f(x),g(x)∈P[x],其最大公因式
5、d(x)存在,且有u(x),v(x)∈P[x],使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)(2)1)适合定理条件的u(x),v(x)不是唯一的.2)对任意的u(x),v(x),由20八、互素定义7如果(f(x),g(x))=1,则称f(x)与g(x)互素.显然,f(x)与g(x)互素它们除零次因式外不再有其它公因式.几个简单事实:(1)若f(x)与g(x)互素,则f(x)与g(x)不全为零多项式.(2)零多项式与零次多项式互素,且只与零次多项式互素.(3)零次多项式与任意多项式互素.2122
