高等代数与解析几何1.1

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1、第一章第一章向量代数向量代数物理量几何向量代数向量代数系统=集合+代数运算+法则§1向量的线性运算一、向量及相关概念1、向量的定义在实际中，我们遇到的像速度、加速度、力，位移等这样的量，它们不仅有大小而且有方向，因此不能仅用一个数来表示。像这种既有大小又有方向的量称为向量。在几何上，我们用有向d线段来表示向量，它的长度aB表示向量的大小，它的方向A代表向量的方向(如右图)。若有向线段的起点为A，终点gggd为B，则此向量也可记为AB.2、向量的模d向量a的大小(即有向线AB的长度)称为向量dgggd的模或长度，记为

2、a

3、或

4、AB

5、3、向量相等规定长度相等并且方向

6、相同的向量为相等向量.gggdgggdd例如,在平行四边形中，AB=CD=adAaBCD4、自由向量及向量集按照以上规定，向量经过平移后不变，这种向量称为自由向量(即不关心向量的起点).5、零向量d长度为0的向量称为零向量，记为0或0.规定，零向量可以指向任何一个方向.6、负向量dd与a长度相等但方向相反的向量为da的负向量，记为-a.显然有，dd--(a)=a二、向量的运算1、向量的加法ddgggdd给定两个向量a与b，则d

7、AB

8、=da，再作gggddd

9、BC

10、=b(如下图)，则向量c就是a与b的和，记作Cddddcdc=a+bbdBAa这种求两个向量之和的

11、方法称向量相加的三角形法则.由于向量平移后不变，故也可用平行四边形来求两个向量的和.dbOda向量的加法的性质ddd对任意向量a、b、c有：dddddd(1)结合律a+(b+c)=(a+b)+cdddd(2)交换律a+b=b+addd(3)0+a=addd(4)-a+a=0由于向量的加法满足结合律，故3个向量的和可记为：ddda+b+c类似地，可用多边形法则求n个向量的和：ggdggdggda+a+?+a12ndd定义向量a与b的差为(如右图)：dCddddbddab−=+a(−b)ab−dBAa2、向量的标量乘法(注意规则)dd实数k与向量a的标量乘积ka是一

12、个向量，它的长度为：dd

13、

14、ka=

15、k

16、

17、a

18、d当k>0时，它的方向与a相同;d当k<0时，它的方向与a相反.由定义可得：dddd0a⋅=0k=⋅00dddd1a⋅=a()-1a=-a向量的标量的性质dd对任意向量a、b和实数kb、有：ddddd1、k(ma)=(km)a2、(k+m)a=ka+madddddd3、k()a+b=ka+kb41、⋅a=a向量的加法和标量乘法统称为向量的线性运算.重要结论：ddd设向量a、b、c两两不共线，则它们的终点和起点依次连接能构成三角形的充要条件是：dddda+b+c=0注:几何的线性运算可以进行移项操作.三、例题ggghg

19、dgghh例1、设OA==a,,OBbP是直线AB上一点，ggghggghggghAP=kPB,,k≠−1试求向量OP.例2、证明中位线定理。dddddd问题:不等式

20、

21、aa

22、−≤

23、bb

24、

25、

26、+

27、≤

28、a

29、+

30、b

31、成立吗?