第4章群环域习题(最新)

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1、应用离散数学群环域第4章：群、环、域§4.1代数运算习题4.11.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）集合关于普通的加法和普通乘法运算，其中是一个正整数。（2）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（3）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（4）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（5）所有阶实可逆矩阵集合关于矩阵加法和矩阵乘法运算。对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）任意，，所以对普通的加法运算封闭。，所以对普通的乘法运算封闭。（2）2

2、.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）正实数集合和*运算，其中*运算定义为：（2）。*运算定义为：对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）不封闭。例如，。（2）封闭。，所以*运算在上是封闭的。，有：，而，因为不恒成立，即，所以不满足交换律。应用离散数学群环域因为，，所以，所以满足结合律。又因为，所以满足等幂律。设为单位元，则因有，，即，由的任意性可知，单位元不存在。3.设，这里是有理数集合，*为上的二元运算，，（1）*运算在上是否可交换、可

3、结合？是否为等幂的？（2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元。（3）*运算在上是否满足消去律？解：（1），所以，故*运算在上不可交换。又，有所以，故*运算在上可结合。又，所以*运算在上不等幂。（2）*运算在上的单位元是，存在逆元的元素的逆元是，且的可逆条件是，不存在零元。（3）若即，也即，所以，也就是，故，所以满足左消去律，同理可证满足右消去律，故满足消去律。4.为实数集合，定义以下六个函数。有，，，，应用离散数学群环域，（1）指出哪些函数是上的二元运算。（2）若是上的二元运算，说明是否可交换的、可结合的

4、、等幂的？（3）若是上的二元运算，求单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。（4）若是上的二元运算，说明是否满足消去律。解：（1）这6个都是上的二元运算。（2）它们的可交换性、可结合性、等幂性、单位元、零元判断如下：函数交换结合等幂单位元零元✓✓✕为0✕✕✕✕✕✕✓✕✕✕✕✓✓✕为1为0✓✓✓✕✕✓✓✓✕✕（3）的逆元为，的逆元为。（4）略5.设，问下面定义的运算在上是否封闭？对于封闭的二元运算，请说明运算*是否满足交换律、结合律，并在存在的情况下求出运算*的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1），是与的最大公因数。（2），是与的最小公

5、倍数。（3）大于等于和的最小整数。（4）质数的个数，其中。解：（1）封闭。因为，为与的因数，故。交换律和结合律都满足。单位元没有，1是零元。（2）不封闭。例如，，。（3）封闭。交换律和结合律满足。单位元是1，零元是10。（4）不封闭。例如，，。应用离散数学群环域§4.2半群与群习题4.21.设是所有形如的矩阵组成的集合，*表示矩阵乘法。试问是半群吗？是有么半群吗？这里是实数。解：任取的2个元素，＝是一个代数系统。又因为矩阵的乘法满足结合律，所以是一个半群。又因为，只要，则＝＝＝，对任何成立，即是左单位元（不论取何值）。因此单位元不存在（

6、若单位元则左右单位元都存在且相等还唯一），即不是有么半群。事实上，右单位元确实不存在，因为不论取何值＝＝＝不可能对任何成立，所以右单位元不存在。因此单位元不存在不是有么半群。2.在正实数集合上定义运算*如下应用离散数学群环域试问是半群吗？是有么半群吗？解：任取中的3个元素，所以是一个代数系统。，即是一个半群。如果存在单位元，则，，可得，所以没有单位元，所以不是有幺半群。3.对自然数集合定义运算和如下：，试问和是半群吗？是有么半群吗？解：显然都满足运算的封闭性，所以和都是代数系统。显然都满足运算的结合律，所以和都是半群。有单位元“1”，所

7、以是有么半群。没有单位元，所以不是有么半群。4.设是一个半群，它有一个左零元，令证明也构成一个半群。5.在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。证：有么半群中的么元显然不可能等于任一个右零元。设有一个右零元，它的右逆元为，则，因为，应用离散数学群环域所以，即，，导致矛盾，因此一个右零元不可能有右逆元。6.设是一个多于一个元素的集合，是上所有函数组成的集合，证明有么半群有多于一个的右零元，但没有左零元。这里表示复合运算。证：因至少含有2个元，不妨设，且，定义如下两个映射：，则因为，所以，，即和是的右零元，所以说有多于

8、一个的右零元。下面证明无左零元，用反证法，设有左零元，则有：这与矛盾，所以无左零元。7.设为整数集合，在上定义二元运算如下：问关于运算能否构成群？为什么？解：易证Z关于运算是封闭的，且对任意有，结合律成立。