第十二章环与域

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1、第十二章环与域群和半群是具有一个二元运算的代数系统。本章将研究具有两个二元运算的代数系统，大家所熟悉的实数、复数系统具有两个基本的二元运算：普通加法“+”和普通乘法“×”。对于实数R，如果把加法和乘法各自独立来看，则是群，而是独异点，但是在实数R中加法和乘法是发生关联的，比如，乘法关于加法是可分配的。所以，群的理论无法描述像实数系统这样丰富的系统。因此，我们必须研究具有两个发生联系的二元运算的代数系统，环和域就是这样的代数系统。在计算机科学中，环和域的概念在编码理论和自动机理论中有着重要的意义。一、环的定义定

2、义设是代数系统，“+”和“*”是二元运算，它们具有下述三个性质。（1）是可交换群；（2）是半群；（3）乘法“*”对加法“+”可分配，即对任意a,b,c∈R，a*(b+c)=a*b+a*c,(b+c)*a=b*a+c*a。则我们称是一个环（Ring）。请举出例子？例1.为一环(Z为整数集，+,·为数加与数乘运算)．2.为环因为我们已知为加群，为半群。3.所有整数分量的nn方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（◦）构

3、成一环，即，为环．二．环的运算性质为了今后叙述上的方便,1.将环中加法的单位元记作0,2.乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。3.对任何环中的元素x，称x的加法逆元为负元,记作-x.类似地,针对环中的加法,用x-y表示x+(-y),若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.4.nx表示x+x+……+x,即x的n次加法幂,5.用-xy表示xy的负元。性质设是环,则(1)a∈R,   a0=0a=0(2)a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab(3)a,b,

4、c∈R,  a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)对于任意整数m,有a(mb)=(ma)b=m(ab)(5)am+n=aman(am)n=amn性质1-14定义设为环，若有非零元素a，b，满足ab=0，则称a,b为R的零因子，并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环．例：Z6关于模6加法和乘法构成环,有零因子。因为263=0,但2和3都不是0。称2为Z6中的左零因子,3为右零因子。类似地,又有362=0,所以3也是左零因

5、子,2也是右零因子,它们都是零因子。定义设是环,(1)若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环。(2)若环中乘法·存在单位元,则称R是含幺环。(3)若a,b∈R,ab=0a=0∨b=0,则称R是无零因子环（其实称无非零零因子环更准确)又称为消去环。(4)若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,则称R是整环（整区）。例1、整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。2、令2Z={2z

6、z∈Z},则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环

7、，因为12Z.3、Z6关于模6加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和环。4、.是整环当且仅当k是素数.当k为什么值时为整环?定义设R是整环,且R中至少含有两个元素，若都有，则称R是域有理数集Q,实数集R,复数集C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域。但整数环只能构成整环Z,而不是域,因为并不是对于任意的非零整数z∈Z都有1/z∈Z。对于模n的整数环Zn,若n是素数,可以证明Zn是域。