九年级数学正弦和余弦1

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1、正弦和余弦【基础知识精讲】1.基本概念Rt△ABC，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.把∠A的邻边和斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA,即，sinA=,cosA=.如图6-1，sinA=,cosA=.注意：正弦、余弦是一种比值，当∠A确定时，这个比值是不变的.2.取值范围由于直角三角形中斜边大于直角边，从而有：0＜＜1，0＜＜1，所以当∠A为锐角时，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.3.特殊角的正、余弦的数值由直角三角形的有关性质及正、余弦定义，可以推出：sin30°=,sin45

2、°=,sin60°=;cos30°=,cos45°=,cos60°=4.互余角的正、余弦函数之间的关系由图6-1知，sinA=,cosB=,从而可得：sinA=cosB.同理可证：cosA=sinB，又A+B=90°，∴sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A为锐角).5.在0°—90°之间正、余弦值的变化情况从正、余弦表中可以看出：当角度在0°—90°是变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的减小(或增大)而增大(或减小).【重点难点解析】本节的重点是理解正弦函

3、数和余弦函数的概念，熟记特殊三角函数值.难点在于搞清sinA、ocsA的意义，它提示了直角三角形边角之间内在联系，是后面解直角三角的基础.例1如图6-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4.(1)求sinA、cosA的值；(2)sin2A+cos2A的值；(3)比较sinA与cosB的大小.解：(1)∵∠C=90°，AC=8，BC=4∴AB===4∴sinA=cosA=(2)sin2A+cos2A=cos2A=()2+()2=1(3)∵cosB=,sinA=∴sinA=cosB(或由公式得出)分析：熟练地

4、依据正弦函数、余弦函数的概念求直角形中各锐角的正、余弦值是本节的基本技能；此题为求正、余弦值，必先求出斜边的长，再由定义得出，在问题(3)中我们以具体实例验证了公式sinA=cos(90°-A).例2求下列各式的值(1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45°(2)sin45°+sin30°·cos60°解：(1)sina30°·sin45°+cos30°·cos45°==(2)sin45°+sin30°·cos60°=×+×=简析：熟记特殊角的正、余弦值有利于快速、准确的计算.例3已知sin35°=0.5

5、736,sin67°18′=0.9225,求cos60°cos55°-2cos22°42′的值.解：∵cos55°=cos(90°-35°)=sin35°=0.5736cos22°42′=sin67°18′=0.9225∴cos60°55′-2cos22°42′=×0.5736-2×0.9225=-1.5582简析：运用公式sinA=cos(90°-A)解题，明确互余角之间三角函数关系.例4不查表，比较sin46°与cos46°的大小解：∵46＞45∴sin46°＞sin45°,cos46°＜cos45°又sin45°=

6、=cos45°∴sin46°＞cos46°简析：45°的正、余弦值相等以及0°—90°之间正、余弦值变化情况是解决本题的关键.例5已知Rt△ABC中∠C=90°，∠B=60°，a+b=6,求a、b、c解：∵sinB=sin60°=,∴b=c①∵cosB=cos60°=,∴a=c②又知a+b=6③由①②③知：a=3-3,b=9-3,c=6-6分析：此题由角B的正、余弦的定义得出等式①②，再由已知③解方程解决问题.【课本难题解答】1证明：sin2A+cos2A=1(A为锐角)证明：在Rt△ABC中(∠C=90°)，sinA=

7、,cosA=sin2A+cos2A==1简析：用定义及勾股定理直接解题.2已知sinA=，求cosA的值.(∠A为锐角)解：∵∠A为锐角，∴cosA＞0,又sin2A+cos2A=1∴cosA==简析：本题有两点值得注意，一是sinA与cosA之间的关系(即其平方和为1)，二是由等式sin2A+cos2A=1得出的是cosA=±,再由A是锐角，cosA大于0，得出正确结论.【典型热点考题】例1计算：(+1)0-

8、sin60°-1

9、-()-1+(-1)3(2000年武汉市中考题)解：(+1)0-

10、sin60°-1

11、-()-

12、1+(-1)3=1-(1-)-(-1)+(-1)=-简析：简单运用sin60°的值进行计算.例2在斜边为10的Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b是方程x2-mx+3m+6=0的两个根.(1)求m的值；(2)求两个锐角的正弦值.(1997年济南市中考题)解：依题意：a+b=m,ab=3m+6∵a2+b2=10