复合函数的导数(2)

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1、课题：3．4复合函数的导数(2)教学目的：1.掌握复合函数的求导法则，并能进行简单的运用．教学重点：利用复合函数的求导法则求函数的导数.教学难点：复合函数的求导法则的应用．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：  如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.对于复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导．教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：

2、；；；2.法则1　．法则2,法则33.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或f′x((x))=f′(u)′(x).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．二、讲解范例：例1函数的导数.解：．设，，则　．说明：①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适

3、当选取中间变量；本题如果选成，，就复杂了．②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．如此例的解题过程可以直接写成．例2求的导数．解：，．例3求证：，其中*．说明：这个等式我们在学习有关二项式定理等知识时，用倒序求和等方法给出过证明，这里我们利用求导数、赋值的方法证明这个等式．证明：由二项式定理知　，两边同时对x求导，得．令得．说明：是作为复合函数对求导的例4求y=(ax－bsin2ωx)3对x的导数.解：y′=3(ax－bsin2ωx)2·(ax－bsin2ω

4、x)′=3(ax－bsin2ωx)［a－(bsin2ωx)′］=3(ax－bsin2ωx)［a－b2sinωx·(sinωx)′］=3(ax－bsin2ωx)［a－b2sinωx·cosωx·ω］=3(ax－bsin2ωx)(a－bω·sin2ωx)例5求y=sinnxcosnx的导数.解：y′=(sinnx)′cosnx+sinnx(cosnx)′=nsinn－1x·(sinx)′cosnx+sinnx·(－sinnx)(nx)′=nsinn－1xcosxcosnx－nsinnxsinnx=nsinn－1x(

5、cosxcosnx－sinxsinnx)=nsinn－1xcos(n+1)x.例6求函数y=－x2(3x－2)(3－2x)的导数.分析:这是三个函数乘积的导数，只要根据公式(uvω)′=u′vω+uv′ω+uvω′就可以求了.解：y′=(－x2)′(3x－2)(3－2x)+(－x2)(3x－2)′(3－2x)+(－x2)·(3x－2)(3－2x)′=－2x(3x－2)(3－2x)－x2·3(3－2x)－x2(3x－2)(－2)=24x3－39x2+12x.例7求函数y=的导数.分析:先把y看成幂函数y=，里面的

6、函数的求导要用到商的导数法则，和积的导数法则.解：y′={}′例8求y=(3x+1)2的导数.分析:y可以看成两个函数u、v的乘积，而u、v都是复合函数.解：y′=［(3x+1)2］′+(3x+1)2［()］′=2(3x+1)·(3x+1)′+(3x+1)2=2(3x+1)·3·+(3x+1)2·=6(3x+1)+(3x+1)2·=6(3x+1)例9求y=(x2－3x+2)2sin3x的导数.解：y′=［(x2－3x+2)2］′sin3x+(x2－3x+2)2(sin3x)′=2(x2－3x+2)(x2－3x+

7、2)′sin3x+(x2－3x+2)2cos3x(3x)′=2(x2－3x+2)(2x－3)sin3x+3(x2－3x+2)2cos3x.三、课堂练习：1．求下函数的导数.(1)y=(2)y=(3)y=sin(3x－)(4)y=cos(1+x2)(1)解：y==(2x2－1)－3y′=［(2x2－1)－3］′=－3(2x2－1)－4(2x2－1)′=－3(2x2－1)－4(4x)=－12x(2x2－1)－4(2)解：y=y′=［(3x+1)］′=－(3x+1)(3x+1)′=－(3x+1)·3=－(3x+1).

8、有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.(3)解：y′=［sin(3x－)］′=cos(3x－)(3x－)′=cos(3x－)·3=3cos(3x－)(4)解：y′=［cos(1+x2)］′=－sin(1+x2)(1+x2)′=－sin(1+x2)·2x=－2xsin(1+x2).2.下列函数中，导数不等于sin2x的是(D)A.2－cos2xB.2+sin2x