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时间:2018-05-05
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1、课题:3.4复合函数的导数(2)教学目的:1.掌握复合函数的求导法则,并能进行简单的运用.教学重点:利用复合函数的求导法则求函数的导数.教学难点:复合函数的求导法则的应用.授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪内容分析: 如何设中间变量,弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成,把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.对于复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导.教学过程:一、复习引入:1.常见函数的导数公式:
2、;;;2.法则1 .法则2,法则33.复合函数的导数:设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f((x))在点x处也有导数,且或f′x((x))=f′(u)′(x).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代.二、讲解范例:例1函数的导数.解:.设,,则 .说明:①求复合函数的导数的关键,在于分清函数的复合关系,适
3、当选取中间变量;本题如果选成,,就复杂了.②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;③在熟练掌握公式后,不必再写中间步骤.如此例的解题过程可以直接写成.例2求的导数.解:,.例3求证:,其中*.说明:这个等式我们在学习有关二项式定理等知识时,用倒序求和等方法给出过证明,这里我们利用求导数、赋值的方法证明这个等式.证明:由二项式定理知 ,两边同时对x求导,得.令得.说明:是作为复合函数对求导的例4求y=(ax-bsin2ωx)3对x的导数.解:y′=3(ax-bsin2ωx)2·(ax-bsin2ω
4、x)′=3(ax-bsin2ωx)[a-(bsin2ωx)′]=3(ax-bsin2ωx)[a-b2sinωx·(sinωx)′]=3(ax-bsin2ωx)[a-b2sinωx·cosωx·ω]=3(ax-bsin2ωx)(a-bω·sin2ωx)例5求y=sinnxcosnx的导数.解:y′=(sinnx)′cosnx+sinnx(cosnx)′=nsinn-1x·(sinx)′cosnx+sinnx·(-sinnx)(nx)′=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx=nsinn-1x(
5、cosxcosnx-sinxsinnx)=nsinn-1xcos(n+1)x.例6求函数y=-x2(3x-2)(3-2x)的导数.分析:这是三个函数乘积的导数,只要根据公式(uvω)′=u′vω+uv′ω+uvω′就可以求了.解:y′=(-x2)′(3x-2)(3-2x)+(-x2)(3x-2)′(3-2x)+(-x2)·(3x-2)(3-2x)′=-2x(3x-2)(3-2x)-x2·3(3-2x)-x2(3x-2)(-2)=24x3-39x2+12x.例7求函数y=的导数.分析:先把y看成幂函数y=,里面的
6、函数的求导要用到商的导数法则,和积的导数法则.解:y′={}′例8求y=(3x+1)2的导数.分析:y可以看成两个函数u、v的乘积,而u、v都是复合函数.解:y′=[(3x+1)2]′+(3x+1)2[()]′=2(3x+1)·(3x+1)′+(3x+1)2=2(3x+1)·3·+(3x+1)2·=6(3x+1)+(3x+1)2·=6(3x+1)例9求y=(x2-3x+2)2sin3x的导数.解:y′=[(x2-3x+2)2]′sin3x+(x2-3x+2)2(sin3x)′=2(x2-3x+2)(x2-3x+
7、2)′sin3x+(x2-3x+2)2cos3x(3x)′=2(x2-3x+2)(2x-3)sin3x+3(x2-3x+2)2cos3x.三、课堂练习:1.求下函数的导数.(1)y=(2)y=(3)y=sin(3x-)(4)y=cos(1+x2)(1)解:y==(2x2-1)-3y′=[(2x2-1)-3]′=-3(2x2-1)-4(2x2-1)′=-3(2x2-1)-4(4x)=-12x(2x2-1)-4(2)解:y=y′=[(3x+1)]′=-(3x+1)(3x+1)′=-(3x+1)·3=-(3x+1).
8、有的函数要先进行变形,化成幂函数的形式,这样求导起来会比较方便.(3)解:y′=[sin(3x-)]′=cos(3x-)(3x-)′=cos(3x-)·3=3cos(3x-)(4)解:y′=[cos(1+x2)]′=-sin(1+x2)(1+x2)′=-sin(1+x2)·2x=-2xsin(1+x2).2.下列函数中,导数不等于sin2x的是(D)A.2-cos2xB.2+sin2x
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