函数的单调性和奇偶性

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1、函数的单调性和奇偶性一、学习目标   1.理解函数的单调性概念，能根据函数单调性定义证明函数在给定区间上的增减性。   2.会判定函数的单调性，会求单调区间。   3.准确掌握一次函数、二次函数的单调性。   4.解奇函数、偶函数的概念及图像物征，能判断某些函数的奇偶性；二、例题分析第一阶梯[例1]什么叫函数f(x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？[解]   设任意的x1,x2∈[a,b],当x1

2、x1，x2∈[a,b],当x1f(x2)，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间[a,b]上是减函数。[评注]   1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间。  2.函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域的子集。例如，的定义域A=（－∞，0）∪（0，+∞）,那么，下列说法正确的是（把正确说法的代号都填上） ①f(x)在其定义域A上是增函数 ②f(x)是单调函数 ③

3、f(x)在区间（－∞，0）上是增函数 ④f(x)在区间（0，+∞）上是减函数 ⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞） 答：正确说法是③、⑤，其它说法都是错误的，我们着重论证说法①是错误的：设x1=1,x2=1,则x1,     x2∈A,但   [例2]怎样根据函数单调性定义，证明函数的增减性？试举一例。[解]根据单调性定义证明函数增减性的步骤是： （1）设x1,x2:即设x1、x2是该区间上的任意二值，且x1

4、1)-f(x2)，变形，定号。    （也可以用“作商”等其它比较法） （3）作出结论：根据单调性定义，作出增函数或减函数的结论。 例：根据函数单调性定义证明在区间（0，2]上是减函数。      证明：设00，即f(x1)>f(x2)。   ∴在区间（0，2）上是减函数。 [例3]怎样判别函数的单调性？举例说明。【解】目前应该学会判断单调性的三个判别法：   1、定义法：

5、根据增函数、减函数的定义来判别。例如，判别函数的单调性：根据定义，先取x2>x1>0，作差        这里的△f是函数改变量f(x2)－f(x1)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号来确定，△f的符号由因式x1x2—4来确定：显然x=2是分界点，当x1，x2∈（0，2）时，x1x2－4<0，从而△f<0，即f(x2)0，从而△f>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在[2

6、，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求得了：  函数的单调区间：（0，2）是减区间，[2，+∞]是增区间。2、图象法：在直角坐标系中，函数y=f(x)在某一区间上从左到右图象上升，则f(x)在该区间上是增函数；  相反，图象下降，则f(x)是减函数。简言为“升增降减”。例如求二次函数f(x)=－x2+4x+1的单调性。因此f(x)的图象是开口向下的抛物线，其最高的横坐标为2，在（－∞，2）上图象上升，在[2，+∞]上图象下降，所以f(x)的单调增区间是（－∞，2），单调减区间

7、是[2，+∞]。3、复合法：其判别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减函数是减函数；减函数的增函数是减函  数；减函数的减函数是增函数。   简言为：增·增增；增·减减；       减·增减；减·减增。           可类比乘法符号法则来记忆：（+）·（+）=（+）；（+）·（－）=（－）；（－）·（+）=（－）；（－）·（－）=（+）；   例如，求函数的单调性。   解：先作复合映射      函数u=x2-2x在（－∞，0）上是减函数，且u∈[0，+∞]；而函数在[0，+∞]上是

8、增函数，因为减函数的增函数是减函数，所以函数在（－∞，0]上是减函数。同理，可得函数在[2，+∞]上是增函数。【评注】   函数单调性的主要问题是求函数的单调区间和增减性。上面指出的三个判别法──定义法、图象法和复合法就是求单调递增区间或递减区间的基本方法。                                   第二阶梯[例4]根据函数单调性定义，证明函数上是增函数。【证明】设x2>x1≥2，则      [例5]根据函数单调性定义，证明函数在定义域上是减函数。【证明