函数的单调性和奇偶性

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1、函数的单调性和奇偶性（一）函数的定义及构成函数的三要素为、、。（二）函数的三种表示方法分别为、、。知识点一：函数的单调性（一）增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

2、变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；（4）不能随意合并两个单调区间.（二）已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.知识点二：函数的奇偶性偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于对称的；7（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数

3、且在原点有定义，则必有f(0)=；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=；（6）函数f(x)为奇函数图像关于对称；　　函数f(x)为偶函数图像关于对称.类型一：函数的单调性的证明例1、证明函数上的单调性.证明：类型二：求函数的单调区间例2、判断下列函数的单调区间；（1）y=x2-3

4、x

5、+2；（2）解：举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：（1）y=

6、x+1

7、；（2）　　　　（3）.类型三：单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)7例3、已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：例4.求下列函数值域：(

8、1)y=2x-1/x+2；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；　　(2)y=x2-2x+3；　1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].例5、已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：（1）实数a的取值范围；（2）f(2)的取值范围.解：类型四：判断函数的奇偶性例6、判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）f(x)=x2-4

9、x

10、+3（4）f(x)=

11、x+3

12、-

13、x-3

14、（5）（6）（7）7举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）f(x)=

15、x+1

16、-

17、x-1

18、；（3）f(x)=x2+x+1；（4）.思路点拨：利用函数奇

19、偶性的定义进行判断.解：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：类型五：函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例7、已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：7例8、f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：例9、设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)

20、，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是.（1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；（2）f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)；（4）f(a)-f(-b)

21、义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：例14、判断函数上的单调性，并证明.证明：7（一）证明函数单调性的步骤：（1）取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论.（二）函数单调性的判断方法：（1）定义法；（2）图象