函数的单调性和奇偶性 (3)

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1、1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计【教学目标】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；3.理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.【导入新课】1.通过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：①以y轴为折痕将纸对折

2、，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.②以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，

3、然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.新授课阶段一、函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

4、有f(x1)

5、于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且，则，.所以，在R上是增函数.例3证明函数在上是减函数.证明：设是上的任意两个实数，且，则.由，得，且.于是.所以，在上是减函数.利用定义证明函数单调性的步骤：（1）取值；（2）计算、；（3）对比符号；（4）结论.二、奇函数、偶函数的概念：1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇

6、函数.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.例4（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数为奇函数的充要条件是；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）.A．1B．2C．3D．4【提示】①不对，如函数是偶函数，但其图象

7、与轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案为A.（2）已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（　　）　A．，b＝0B．，b＝0C．，b＝0D．，b＝0【提示】由为偶函数，得b＝0.又定义域为［］，∴，∴．故答案为A.例5判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）.解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数.(2)，∴∴既是奇函数又是偶函数.（3）由得定义域为，∴，∵，∴为偶函数.（4）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函