抽象函数的单调性和奇偶性

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1、抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选B。例2

2、．偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：任取因为在上是减函数，所以。又是偶函数，所以，从而，故在上是增函数。2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例3．若函数与的图象关于原点对称，判断：函数是什么函数。解：设图象上任意一点为P（）与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，7又即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。二、证明单调性和奇偶性1.证明单调性例4．已知函数f(x)=,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增

3、函数.g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求证：f(x)是R上的增函数解:设x1>x2g(x)是R上的增函数,且g(x)>0g(x1)>g(x2)>0g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-=1--(1-)=->0f(x1)>f(x2)f(x)是R上的增函数例5．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。证明：对一切有。7且，令，得，现设，则，，而，设且，则，即为减函数。2.证明奇偶性例6．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数。三

4、、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例7．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。7解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，由得。（1）当时，，不等式不成立。（2）当时，（3）当时，综上所述，所求的取值范围是。例8．已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。解：对恒成立对恒成立7对恒成立，四、不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通

5、过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例9．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。解：设且则，即，故为增函数，又因此不等式的解集为。2.讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例10．已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。7分析：由单调性，脱去函数记号，得由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例11．已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是

6、_______。分析：且，又时，是增函数，是偶函数，故六、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。例12.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明；7（2）证明：在R上是增函数；（3）设，，若，求满足的条件。解：（1）令得，或。若，当时，有，这与当时，矛盾，。（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由（3）由得由得（2）从（1）、（2）中消去得，因为，即7