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《抽象函数的单调性和奇偶性求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、抽象函数的单调性和奇偶性求解策暁抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，且新课的学习安排在高一上学期，学生的抽象思维能力还没有形成，解题时思维常常受阻，思路难以展开。而在高中阶段的各种考试甚至在高考中，都会出现这一题型，学生得分很低。在教学实践中，尝试对抽象函数的单调性和奇偶性的常见问题进行了整理、归类，大致有以下几种题型。1.判断单调性和奇偶性(1)判断单调性。根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1•
2、如果奇函数f(x)在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5,那么f(x)在区间［-7,-3］上是A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选(2)判断奇偶性。根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(X)与f(-X)的关例2.若函数y二f(x)(f(x)HO)与y二-f(x)的图象关于原点对称，判断：函数y二f(x)是什么函数。解：设y二f(x)图象上任意一点为P(xO,yO)y二f(x)与y二-f(x)的图象关于原点对称，AP(xO
3、,yO)关于原点的对称点(-xO,-yO)在y二-f(x)的图象上，/.-yO=-f(~x0)AyO=f(-xO)乂yO二-f(xO)f(~x0)=f(xO)即对于函数定义域上的任意x都有f(-x)二f(x),所以y二f(x)是偶函数。1.证明单调性和奇偶性(1)证明单调性。例3.已知函数f(x)=g(x)-lg(x)+1,且f(x),g(x)定义域都是R,.1.g(x)>0,g(1)二2,g(x)是增函数.g(m)•g(n)二g(m+n)(m^n^R)求证：f(x)是1^上的增函数解:设xl>x2Jg
4、(x)是R上的增函数，且g(x)>0Ag(xl)>g(x2)>0/.g(xl)+1>g(x2)+1>0A2g(x2)+1>2g(xl)+1>0A2g(x2)+1-2g(xl)+1>0/.f(xl)-f(x2)=g(xl)-lg(xl)+1-g(x2)-lg(x2)+1=1-2g(xl)+1-(1-2g(x2)+1)二2g(x2)+1-2g(xl)+l>0f(xl)>f(x2)・•・f(x)是R上的增函数(2)证明奇偶性。例4.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y满足f(xy)二f(x)+f(y)
5、,求证：f(x)是偶函数。分析：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=l,得f(1)=f(1)(1)二〉f(1)二0令x=y=-l,得f(1)二f(-1)+f(-1)二〉f(-1)=0于是f(-x)=f(-1.x)=f(-1)+f(x)=f(x)故f(x)是偶函数。1.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数左义域的作用。例5.已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在(0,1)上
6、为增函数，满足f(a-2)-f(4-a2)<0,试确定a的取值范围。解：Vf(x)是偶函数，口在(0,1)上是增函数，・・・f(x)在(-1,0)上是减函数,由-1(1)当a二2时，f(a-2)二f(4-a2)二f(0),不等式不成立。(2)当3f(a-2)-la2-4解之得，3(3)当2f(a-2)0解之得，2综上所述,所求a的取值范围是(3,2)Y(2,5)。1.不等式(1)解不等式。这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。(2
7、)讨论不等式的解。求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。2.比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质，将自变量转化到函数的单调区间内，然后，利用其单调性使问题获解。3.综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。以上所归纳的各种类型，是各类考试中频繁出现的热点问题，在平时的教学过程中引导学生理解透，归纳好，勤翻看，多思考，一定可以深化对这类问题的理解，进而培养学生的抽象思维能力和
8、逻辑思维能力，促进其它知识点的学习，真正达到触类旁通，举一反三的效果。收稿日期:2013-05-14
