高考数学复习点拨 集合学习中数学语言的转换

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1、集合学习中数学语言的转换在集合中，其数学语言常见形式主要有三种：一是自然语言，通过日常语言来描述集合问题中的数学对象；二是符号语言，通过约定的数学符号来表达集合问题中的数学对象；三是图形语言，通过图形来表示集合问题中的数学对象；集合的概念有运算中包含着丰富的数学语言.例如集合的交集，它的三种语言分别是：文字语言：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合.符号语言：A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}图形语言：(图中阴影部分)这三种语言使用起来是等效的，学会它们之间的相互转化，会给学习带来很大的方便.解决问题时，要灵活准确地进行语言转换.例1图中U是全集，A、B是U的

2、两个子集，用阴影表示(UA)∩（UB）.解析：先将符号语言(UA)∩（UB）转换成与此等价的另一种符号语言U(A∪B)，再将符号语言U(A∪B)转换成图形语言(如下图中阴影部分)例2已知平面内的△ABC及点P，求{P｜PA＝PB}∩{P｜PA＝PC}解析：将符号语言{P｜PA＝PB}∩{P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{P｜PA＝PB}∩{P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.例3设U为全集，集合M、N、P都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A.M∩（N∪P）B.M∩[P∩（UN）]C.P∩[(UM)∩(

3、UN)D.（M∩N）∪（M∩P）解析：对于阴影部分的元素x∈P且x∈M，但xN，故它表示的集合应为M∩[P∩（UN）]，选B例4设f（x）＝（x－2k）2，x∈Ik，Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，对于自然数k，求集合Mk＝{a｜使方程f（x）＝ax在Ik上有两个不相等的实根}解析：将Mk＝{a｜使方程f（x）＝ax在Ik上有两个不相等的实根}用符号语言表示的集合问题转化为与之等价命题：(文字语言)“求使y＝ax与y＝（x－2k）2，x∈（2k－1，2k＋1）有两个不同交点时a的取值范围.”运用数形结合的思想，可得a的取值范围是0＜a≤即Mk＝{a｜0＜a

4、≤＝例5某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(UA)∩（UB)再将符号语言转换成图形语言：通过图形得到集合(UA)∩（UB）的元素是8最后把符号语言转化成文字语言，即(UA)∩（UB）转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.