高考数学复习点拨 集合中的题型归类解析

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1、集合中的题型归类解析集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了，而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此，在集合题型上应引起我们的足够重视.集合中的题型题型1：集合相等问题集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从

2、而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视.例1已知集合，，若，求的值分析：要解决的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的各个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解：根据题意，分两种情况进行讨论：（1）若，消去，得当时，集合中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故∴，即，此时中的三个元素又相同，∴∴此时无解.（2）若消去，得∵，∴，即又，∴评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.（2）有些数学问题很难从

3、整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法.题型2：证明、判断两集合的关系集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.例2设集合Z}，集合Z}，试判断集合、的关系。分析：先判断元素与集合

4、的关系，再判断集合与集合的关系解：任设，则Z，∵Z，∴Z.∴.故.又任设，则Z.∵Z，∴Z.∴.故.综上可知.评注：在说明，或的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理.题型3：集合中的参数问题所谓集合中的参数问题，是指集合适合的条件}中“适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性.例3已知集合≤≤，≤≤，满足，则实数的取值范围为.解：(1)当时，，得，满足.(2)当时，解得≤≤.综合(1)、(2)得的取值

5、范围是≤.评注：有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在中，含有这种可能，应注意.在集合单元中含有丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识，掌握分类方法，培养周密的思维品质.题型4：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.例4设全集≤，.21。(1)求及；(2)求及.解

6、：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：≤；.(2)≤，或；.评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数学轴的几何直观来帮助思考.题型5：开放、定义型问题近几年在高考试题的帮助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示为所适合的条件}，其中的代表元素“的任意性”和“所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.例5设，，定义与的差集为，且，则解：由所给的新定义：差集，且，得，从而.评注：差集中的“差”与我们平时所

7、接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误：.例6已知Z}，Z}，≤，问是否存在实数，使得(1)，(2)同时成立.分析：假设存在使得(1)成立，得到与的关系后与≤联立，然后讨论联立的不等式组.解：假设存在实数，使得，同时成立，则集合Z}与集合Z}分别对应集合Z}与Z}，与对应的直线与抛物线至少有一个公共点，所以方程组有解，即方程必有解.因此≥≤，①又∵≤②由①②相加，得≤，即≤.∴.将代入①得≥，再将代入②得≤，因此，将，代入方程得，解得Z.所以不存在实数，使得(1)，(2)同时成立.评注：

8、对于存在性探索性问题，首先要假设这样的问题存在，以此出发，依据已知条件、公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾，得出问题的结论.