高考数学复习点拨 集合中的题型归类解析

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时间:2018-05-03

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1、集合中的题型归类解析集合问题为每年必考题型之一,特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题,这些试题涉及的知识面广,灵活性较强.实际上,这方面问题的本质是以集合为载体,将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中,只不过是在语言形式方面做了些变通罢了,而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此,在集合题型上应引起我们的足够重视.集合中的题型题型1:集合相等问题集合相等问题,主要是利用集合中元素的互异性,集合中元素的互异性是集合的重要属性,在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略,从

2、而导致解题的失败,所以在解题中应引起足够的重视.例1已知集合,,若,求的值分析:要解决的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解:根据题意,分两种情况进行讨论:(1)若,消去,得当时,集合中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故∴,即,此时中的三个元素又相同,∴∴此时无解.(2)若消去,得∵,∴,即又,∴评注:(1)解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.(2)有些数学问题很难从

3、整体着手解决,需从分解入手,把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题,通过逐一判断来解决这些问题,从而达到整体问题的解决,这种重要的数学方法就是分类讨论的方法,要学会这种思维方法.题型2:证明、判断两集合的关系集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的。因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.例2设集合Z},集合Z},试判断集合、的关系。分析:先判断元素与集合

4、的关系,再判断集合与集合的关系解:任设,则Z,∵Z,∴Z.∴.故.又任设,则Z.∵Z,∴Z.∴.故.综上可知.评注:在说明,或的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理.题型3:集合中的参数问题所谓集合中的参数问题,是指集合适合的条件}中“适合的条件”里面含有参数的问题,解答这类问题类似于其他含有参数的问题,灵活性极强,难度也很大.因此,解决此为问题要注意思维的严谨性.例3已知集合≤≤,≤≤,满足,则实数的取值范围为.解:(1)当时,,得,满足.(2)当时,解得≤≤.综合(1)、(2)得的取值

5、范围是≤.评注:有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论,特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在中,含有这种可能,应注意.在集合单元中含有丰富的分类讨论内容,所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识,掌握分类方法,培养周密的思维品质.题型4:利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集有的集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象,采用数形结合思想方法,往往可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.例4设全集≤,.21。(1)求及;(2)求及.解

6、:(1)如图,利用数轴可直观地得到结果:≤;.(2)≤,或;.评注:有关用不等式表示的集合的并、交、补运算,常常借助于数学轴的几何直观来帮助思考.题型5:开放、定义型问题近几年在高考试题的帮助带动下,一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中,集合的形式被表示为所适合的条件},其中的代表元素“的任意性”和“所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.例5设,,定义与的差集为,且,则解:由所给的新定义:差集,且,得,从而.评注:差集中的“差”与我们平时所

7、接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误:.例6已知Z},Z},≤,问是否存在实数,使得(1),(2)同时成立.分析:假设存在使得(1)成立,得到与的关系后与≤联立,然后讨论联立的不等式组.解:假设存在实数,使得,同时成立,则集合Z}与集合Z}分别对应集合Z}与Z},与对应的直线与抛物线至少有一个公共点,所以方程组有解,即方程必有解.因此≥≤,①又∵≤②由①②相加,得≤,即≤.∴.将代入①得≥,再将代入②得≤,因此,将,代入方程得,解得Z.所以不存在实数,使得(1),(2)同时成立.评注:

8、对于存在性探索性问题,首先要假设这样的问题存在,以此出发,依据已知条件、公理、定理进行推理论证,推出一个较为明显的结论,最后根据这样的结论有无矛盾,得出问题的结论.

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