高考数学复习点拨 导数应用归类解析

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1、导数应用归类解析一、用于研究函数的三大性质：单调性、极值、最值　　导数是研究函数问题的有力工具，主要应用于三个方面（设函数在某个区间内可导）：　（1）单调性判断：如果，则单调递增；如果，则单调递减．　（2）极值判断：检验使的点左右值的符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值．　（3）闭区间最值判断：先求出其开区间上的极值，再与端点的函数值比较即可求解．　　应注意有时以逆向题形式给出，即已知以上的性质，求参数的值或范围．　　例1　已知函数．　（Ⅰ）求的单调减区间；　（Ⅱ）若在区间上的最大值为它在该区间上的最小值．　　分析：本题主要研究函数的单调性及最值，运用导数可轻易获解．　　解：（Ⅰ）

2、．　　令，解得，或．　　所以函数的单调递减区间为．　　（Ⅱ）因为，．　　所以．　　因为在上，　　所以在上单调递增，　　又由于在上单调递减，　　因此和分别是在区间上的最大值和最小值．　　于是有，解得．　　故．　　因此．　　评注：运用导数求函数的单调区间的方法简单，避免了运用定义时繁杂的运算及高难度变形技巧．　　例2　设为实数，函数．　　（Ⅰ）求的极值．　　（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．　　解：（Ⅰ）．　　若，则，或．　　当变化时，变化情况如下表：　　　　的极大值是，极小值是．　（Ⅱ）函数．　　由此可知，取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个

3、交点．　　结合的单调性可知：　　当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上．　　当的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与轴仅有一个交点，　　结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上．　　当的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上．　　当时，曲线与轴仅有一个交点．二、用于解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式，比较大小，证明不等式等．下面以比较大小为例加以说明．例3　（1）若，，则（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（2）若，则与的大小关系（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．与的取值有关解：（1）设

4、，令，得．又，故通过模拟函数的图象，得，故选Ｃ．（2）令，则，又，故有，即曲线上切线斜率范围为，而直线斜率为2，故选Ｄ．评注：对于（1）比较大小是利用单调性，关键在于构造相应的函数，然后在相应区间上用导数知识判断其单调性．而（2）比较大小运用构造相应的函数，运用几何意义，即斜率法加以解决．三、用于解决几何问题　　例4　（1）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（　　）　　Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．0　（2）曲线在点处的切线与轴，直线所以围成三角形的面积为　　　　　．　　解：（1）切线的倾斜角小于，则，且，即，坐标为整数的点的个数为0个，选Ｄ．　（2）在点处的切线

5、方程为，即．　　作图可知：．　　评注：函数在点处导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，即．　　例5　用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？　　解：设容器的高为cm，容器的容积为．　　则．　　求的导数，得．　　当时，，那么是增函数；　　当时，，那么是减函数．　　因此，在定义域内，函数只有当时取得最大值，其最大值为．　　答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm．　　评注：这是一道实际生活中的最优化问题，一般先建立目标函

6、数，通过配凑变形转化为符合二元或三元均值不等式的形式求最值，但配凑过程是一个难点，如果运用导数知识求目标函数的最值则使以上问题变得非常简单．可见，导数的引入开辟了求最值问题的新途径．