高考数学复习点拨 导数几何意义的应用分类解析

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1、导数几何意义的应用分类解析函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y＝x2﹣4与直线y＝x＋2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为l1和l2.(1)求直线l1与l2的夹角.解析：由方程组，解得A(－2，0)，B(3，5)，由y¢＝2x，则y¢

2、x＝－2＝﹣4，y¢

3、x

4、＝3＝6，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tanθ＝

5、

6、＝,所以θ＝arctan.点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称直线l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两

7、条公切线段互相平分.解析：(1)函数y＝x2＋2x的导数y¢＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，x＋2x1)处的切线方程是y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x…①，函数y＝－x2＋a的导数y¢＝－2x，曲线C2在点Q(x2，－x＋a)处的切线方程是y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x＋a，…②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是直线l的方程，所以，消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0.当判别式△＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a＝－时，解得x1＝－，此时点P和Q重合，

8、即当a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y＝x－.（Ⅱ）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.三、切线逆向运算问题例5曲线y＝x3在点（a，a3）(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝__________________.解析：y′＝3x2，切线斜率为3a2，方程为y－a3＝3a2（x－a），当y＝0时，x＝a，当x＝a时，y＝a

9、3，则·

10、a3

11、·

12、a－a

13、＝，解得a＝±1.点拨：上面两题通过求导，利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程，建立等式或不等式，进而解决参数问题.四﹑其它综合问题例1．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　（江苏高考试题）【分析】曲线在点处的导数，就是曲线在处切线的斜率，即.解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和公式为:.【点评】：用导数的几何意义,求出曲线在定点的切线方程，再与数列知识结合起来，问题便会迎刃而解.