高考数学复习点拨 导数几何意义的应用分类解析.doc

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时间:2020-03-31

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1、导数几何意义的应用分类解析函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此,用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y=x2﹣4与直线y=x+2相交于A、B两点,过A、B两点的切线分别为l1和l2.(1)求直线l1与l2的夹角.解析:由方程组,解得A(-2,0),B(3,5),由y¢=2x,则y¢

2、x=-2=﹣4,y¢

3、x=3=6,设两直线的夹角为θ

4、,根据两直线的夹角公式,tanθ=

5、

6、=,所以θ=arctan.点拨:解答此类问题分两步:第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率;第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线,称直线l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.解析:(1)函数y=x2+2x的导数

7、y¢=2x+2,曲线C1在点P(x1,x+2x1)处的切线方程是y-(x+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x…①,函数y=-x2+a的导数y¢=-2x,曲线C2在点Q(x2,-x+a)处的切线方程是y-(-x+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x+a,…②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是直线l的方程,所以,消去x2得方程2x+2x1+1+a=0.当判别式△=4-4×2(1+a)=0时,即a=-时,解得x1=-,此时点P和Q重合,即当a=-时,C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线的方程为y=x-.(Ⅱ)证明

8、:略点拨:解答此类问题分三步:第一步分别在两条曲线设出切点,并求出切线方程;第二步根据两个切线方程表示同切线,利用直线重合的条件建立一个二次方程;第三步根据切线的唯一性,结合判别式为零求出结果.三、切线逆向运算问题例5曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=__________________.解析:y′=3x2,切线斜率为3a2,方程为y-a3=3a2(x-a),用心爱心专心当y=0时,x=a,当x=a时,y=a3,则·

9、a3

10、·

11、a-a

12、=,解得a=±1.点拨:上面两题通过求导,利用导数在某点几何意义求切线斜

13、率的值或相对应的切线方程,建立等式或不等式,进而解决参数问题.四﹑其它综合问题例1.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是  (2006年江苏高考试题)【分析】曲线在点处的导数,就是曲线在处切线的斜率,即.解:,令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为,所以,则数列的前n项和公式为:.【点评】:用导数的几何意义,求出曲线在定点的切线方程,再与数列知识结合起来,问题便会迎刃而解.用心爱心专心

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