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《广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 两个原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一节分类计数原理与分步计数原理一、复习引入：这节课我们先讨论下列问题：把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d记这四块,a与c可同色,也可不同色,先考虑给a,c两块涂色,分两类(1)给a,c涂同种颜色共种涂法,再给b涂色有4种涂法,最后给d涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有种涂法(2)给a,c涂不同颜色共有种涂法,再给b涂色有3种方法,最后给d涂色也有4种，此时共有种涂法故由加法原理知，共有+=260种涂法。由此引出
2、分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的办法。分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法。特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有类办法，这类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种
3、数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。二、问题讨论例1．（1）如图为一电路图，从A到B共有 ___________条不同的线路可通电。解：按上中下通电可分三类，第一类有3种通法，第二类1种，第三类分2步，每步又可分2种,所以，共有3+1+22=8种通电方法。AB（2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是。解：另两边用x、y表示，且不妨设，要构成三角形，必须当y取值11时，，可有11个三角形；当y取值10时，，可有
4、9个三角形……当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36，故选C。（3）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项工程，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有_____________种承包方式？解：由分步计数原理有：种。[思维点拔]这类题首先要明确：“完成一件事”指什么？如何完成这件事（即分步还是分类）？进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理。①②③④④③①②甲例2．有种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色：（1）若，则为甲着色时共有多少种不同
5、的方法？（2）若为乙着色时共有1同的方法，求。解：完成着色这件事共分四个步骤。可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此（1）为①着色有6种不同的方法，为②着色有5种乙不同的方法，为③着色有四种不同的方法，为④着色也有四种不同的方法，共有着色方法种；（2）与甲的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理不同的着色方法数是。由得。[思维点拔]注意观察图形特点，理解题目要求。例3:已知集合A=,B=,f是从A到B的映射.(1)从A到B总共有几个映射?(2)若B中每个元素都有原象,则可建立几个不同的映射f?(3)若B中的元素0没有原象,则这样
6、的f有几个?(4)若B中只有一个元素没有原象,则这样的映射有几个?(5)若f满足,则这样的f又有几个?解(1)由乘法原理知有个;(2)f必为一一映射,故有个;(3)个;(4)个;(5)因4=1+1+1+1=1+1+2+0=1+3+0+0=2+2+0+0,故可分四类讨论,得满足要求的映射f共有个例4:四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不同的点，问共有多少种不同的取法？解：从10个点中，任意取4个点的不同取法有种，其中，所取4个点共面的可分为两类第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有种取法第二类，四个点不同在四面体的一个面上，可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上
7、，这只能是恰有1个点是某棱的中点，另3点在对棱上，因为共有6条棱，所以有6种取法，②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都在棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同取法所以符合题意的不同取法种数为三、课堂问答：基础强化(学生回答)补充题：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案？解：考虑A、C、E种同一种植物，此时共有种方法。考虑A
