高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》《两个平面垂直》_1

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1、基础过关第7课时两个平面垂直1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝，其中：d是异面直线a、b的，θ为a、b，m、n分别是a、b上的点E、F到AA'与a、b的交点A，A'的距离．例1如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面ABC⊥平面

2、BSC．CASDB证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．ASBC⑴求证：AB⊥BC；⑵若设二面角S－BC－A为45°，SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．证明：(1)作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC∴AH⊥BC，又SA⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AB(2)∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60°例2.在1二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分

3、别是2和4，且线段AB＝10，求：(1)直线AB和棱a所成的角；(2)直线AB和平面Q所成的角．答案：(1)arcsin(2)arcsin变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．（1）证明：平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD．∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD

4、＝D，∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．（2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵EF面PED，∴AB⊥EF．∴∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1∴cos∠PEF＝即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．CBDFPAE⑴求证：AF∥平面PEC；⑵求证：平面PEC⊥平面PCD；⑶设AD＝2，CD

5、＝2，求点A到面PEC的距离．证明：(1)取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC(2)可证EG⊥平面PCD(3)点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．CBAVD⑴证明：AB⊥平面VAD；⑵求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．（1）证明：平面VAD⊥平面ABCDAB⊥ADAB⊥平面VADAB平面ABCDAD＝平面VA

6、D∩平面ABCD（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE．∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD．∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE．又由三垂线定理知BE⊥VD．于是tan∠AEB＝＝,即得所求二面角的大小为arctanBCAA1B1C1例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.⑴求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；⑵求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3)求点C1到平面A1CB的距离．证(1)因为四边形BCC1B1是矩形

7、，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1．（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC，∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D．∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，在矩形BCC1B1中，DC＝，因为四边形A1ABB1是菱形．∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴A1D＝2∴tan∠A1CD＝．（3）∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC．∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B．∵平面CA1B⊥平面

8、A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即为C1到平面A1BC的距离．∵B1O＝2∴C1到平面A1BC的距离为2．变式训练4：如果