高三高考复习数学专题学案《立体几何初步》——《棱柱 棱锥》

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1、基础过关第10课时棱柱棱锥基础过关一、棱柱1．定义：如果一个多面体有两个面互相，而其余每相邻两个面的交线互相，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，两侧面的公共边叫做棱柱的，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的．2．性质：①侧棱，侧面是；②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是四边形．3．分类：①按底面边数可分为；②按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条

2、棱长的．二、棱锥1．定义：如果一个多面体的一个面是，其余各面是有一个公共顶点的，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的；余下的那个多边形，叫做棱锥的．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的．2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的．3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的，这样的棱锥叫做正棱锥．4．正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱，各侧面都是的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（

3、它叫做正棱锥的）；②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个三角形．典型例题ABCDA1C1D1B1EF例1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点.⑴证明：EF为BD1与CC1的公垂线；⑵求点F到面BDE的距离.答案(1)略；(2)变式训练1：三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，AA1C1B1BCOBC、AC、AA1长均为a，A1在底面ABC上的射影O在AC上．⑴求AB与侧面AC1所成的角；⑵若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积．PAC

4、BE答案(1)45°；(2)例2.如图，正三棱锥P—ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．（1）求侧PAB与底面ABC成角大小；（2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角；（3）设AB＝，求P到面ABC的距离．解：(1)；(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝；BECODA(3)P到平面ABC的距离为．变式训练2：四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成的角；（3）求点E到平面ACD的距离．答案：(1)易证AO⊥BD，AO

5、⊥OC，∴AO⊥平面BCD；(2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．ABCPD例3.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．⑴求证：PA⊥BD；⑵求PB与底面ABCD所成角的正切值；⑶求直线PD与BC所成的角．答案：(1)略；(2)；(3)60°变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点．ACDBC1B1A1⑴求证：AD⊥BC1；⑵求二面角A－BC1－D的大小；⑶求点C到平面ABC1的

6、距离．提示：(1)证AD⊥平面BB1C1C；(2)arctan；(3)a．A1B1C1CAMDB例4．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1，M为AB的中点，A1D＝3DB1．（1）求证：平面CMD⊥平面ABB1A1；（2）求点A1到平面CMD的距离；（3）求MD与B1C1所成角的大小．提示(1)转证CM⊥平面A1B；(2)过A1作A1E⊥DM，易知A1E⊥平面CMD，∴求得A1E＝1；(3)异面直线MD与B1C1所成的角为变式训练4：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝，O为对角线A1C的中点

7、．⑴求OD与底面ABCD所成的角的大小；⑵P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A1CD？并证明你的结论．答案(1)30°；(2)当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A1CD．小结归纳柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱

8、与侧面与底面所成角、边心