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时间:2018-05-03
《高三高考复习数学专题学案:《立体几何初步》《球》》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第11课时球基础过关1.球:与定点的距离或定长的点的集合.2.球的性质(1)用一个平面去截一个球,截面是.(2)球心和截面圆心的连线于截面.(3)球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系:.(4)球面被经过球心的平面截得的圆叫.被不经过球心的平面截得的圆叫.(5)在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长,这个弧长叫.3.球的表面积公式和体积公式:设球的半径为R,则球的表面积S=;球的体积V=.典型例题例1.如图,A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为,点A与B、C两点的球面距离都为,O为球心,求:(1)的大
2、小;(2)球心O到截面ABC的距离.解:(1)因为B、C两点的球面距离为,即B、C两点与球心连线所夹圆心角为,点A与B、C两点的球面距离都为,即均为直角,所以(2)因为⊿BOC,⊿ABC都是等腰三角形,取BC的中点M,连OM,AM,过O作OH⊥AM于H,可证得OH即为O到截面ABC的距离.变式训练1:球面上有三点A、B、C,A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的,B和C之间的球面距离是大圆周长的,且球心到截面ABC的距离是,求球的体积.解:设球心为O,由已知,易得∠AOB=∠AOC=,∠BOC=,过O作OD⊥BC于D,连AD,再过O作OE⊥AD于E,则OE⊥平面ABC
3、于E,∴OE=.在Rt△AOD中,由AD·OE=AO·ODOA=R=1.∴V球=πR3=π.例2.如图,四棱锥A-BCDE中,,且AC⊥BC,AE⊥BE.(1)求证:A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上;(2)若求B、D两点间的球面距离.解:(1)因为AD⊥底面BCDE,所以AD⊥BC,AD⊥BE,又因为AC⊥BC,AE⊥BE,所以BC⊥CD,BE⊥ED.故B、C、D、E四点共圆,BD为此圆的直径.取BD的中点M,AB的中点N,连接BD、AB的中点MN,则MN∥AD,所以MN⊥底面BCDE,即N的射影是圆的圆心M,有AM=BM=CM=DM=EM,故五点共球
4、且直径为AB.(2)若∠CBE=90°,则底面四边形BCDE是一个矩形,连接DN,因为:所以B、D两点间的球面距离是.变式训练2:过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC.(1)求证:MA2+MB2+MC2为定值;(2)求△MAB,△MAC,△MBC面积之和的最大值.解:(1)易求得MA2+MB2+MC2=4R2!(2)S△MAB+S△MAC+S△MBC=(MA·MB+MA·MC+MB·MC)≤(MA2+MB2+MC2)=2R2(当且仅当MA=MB=MC时取最大值).例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面(如图)
5、,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()A.B.C.D.解:设正四面体为正四面体ABCD,分析截面图可知,截面经过正四面体的一条棱设为CD,又过球心,设截面与棱AB交于E点,则E为AB的中点,易求得截面三角形的面积为,故选(C).变式训练3:已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.(1)证明:PC⊥平面PAB;(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上,求△ABC的边长.解(1)连结CF,∵PE=EF=BC=AC∴AP⊥PC∵CF⊥AB,PF⊥AB,∴AB
6、⊥平面PCF∵AC平面PCF∴PC⊥AB∴PC⊥平面PAB.(2)∵AB⊥PF,AB⊥CF∴∠PFC为所求二面角的平面角设AB=a,则PF=EF=,CF=,∴cos∠PFC=.(3)设PA=x,球半径为R∵PC⊥平面PAB,PA⊥PB∵4πR2=12π,∴R=,知△ABC的外接圆为球之小圆,由x2=x·2R.得△ABC的边长为2.小结归纳1.因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸,所以研究球的性质时,应注意与圆的性质类比.2.球的轴截面是大圆,它含有球的全部元素,所以有关球的计算,可作出球的一个大圆,化“球”为“圆”来解决问题.3.球心与小圆圆心的连线,垂直于小圆所在的平
7、面,球的内部结构的计算也由此展开.4.计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点,其关键是利用“AB既是小圆的弦,又是大圆的弦”这一事实,其一般步骤是:(1)根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R,以及所对小圆圆心角;(2)在小圆中,由r和圆心角求出AB;(3)在大圆中,由AB和R求出大圆的圆心角;(4)由圆心角和R,求出大圆弧长AB(即球面上A、B两点的距离).
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