高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》《平面的基本性质》

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1、第1课时平面的基本性质基础过关公理1如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是(证明多点共线的依据)．公理3经过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2经过两条直线，有且只有一个平面．推论3经过两条直线，有且只有一个平面．典型例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．CODAB

2、MB1C1D1A1求证：点C1、O、M共线．证明：A1A∥CC1确定平面A1CA1C面A1CO∈面A1CO∈A1C面BC1D∩直线A1C＝OO∈面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上∴C1、O、M共线变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．提示：反证法．例2.已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面．证明：设a∩l＝Ab∩l＝Bc∩l＝Ca∥ba、b确定平面αlβA∈a,B∈bb∥cb、c确定平面β同理可证lβ所以α、β均过相交直线b、

3、lα、β重合cαa、b、c、l共面RPQαCBA变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．∴P、Q、R共线，共线于直线l．例3.若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；(2)如果AB和A1B1，BC和B1C1

4、分别相交，那么交点在同一条直线上．OC1B1A1ABC证明：(1)∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内(2)设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，ABECDFA1B1C1D1求证：(1)E、

5、C．D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)连结A1B则EF∥A1BA1B∥D1C∴EF∥D1C∴E、F、D1、C四点共面(2)面D1A∩面CA＝DA∴EF∥D1C且EF＝D1C∴D1F与CE相交又D1F面D1A，CE面AC∴D1F与CE的交点必在DA上∴CE、D1F、DA三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α又a∩d＝A∴点A∈α∴直线aα同理可证：b、cα∴a、b、c、d共面(2)若a、

6、b、c、d两两相交但不过同一点∵a∩b＝Q∴a与b可确定一个平面β又c∩b＝E∴E∈β同理c∩a＝F∴F∈β∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上∴cβ同理可证：dβ故a、b、c、d共面由(1)(2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。小结归纳1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在

7、两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．