高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》《平面与平面平行》

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1、基础过关第6课时平面与平面平行基础过关1．两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．(记忆口诀：面面平行，则线线平行)4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．典型例题A1ABCB1C1EFMND1D例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、

2、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；(2)求异面直线AM、BD所成角的余弦值．解：(1)易证EF∥B1D1MN∥B1D1∴EF∥MNAN∥BE又MN∩AN＝NEF∩BE＝E∴面AMN∥面EFDB(2)易证MN∥BD∴∠AMN为AM与BD所成角易求得cos∠AMN＝BDβαACO变式训练1：如图，∥，AB交、于A、B，CD交、于C、D，ABCD＝O，O在两平面之间，AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．解：依题意有AC∥DB即∴OD＝∴CD＝＋6＝例2.已知平面∥平面，AB、CD是夹在平

3、面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥．证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝ACβ∩γ＝BD∵α∥β∴AC∥BD又∵∴EF∥AC∥BD∴EF∥α∥β2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD在AA'截点O，使∴EO∥BA'OF∥A'D∴平面EOF∥α∥β∴EF与α、β无公共点∴EF∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：(1)APMN；(2)平面MNP∥平面A1BD．证明：(1)连BC1易知AP在BCC1B1内射影是BC1

4、BC1⊥MN∴AP⊥MN(2)∵面MNP∥面A1BD例3.已知a和b是两条异面直线．(1)求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；(2)求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离．(1)在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q过Q作a'∥a设a,b'确定一个平面αa',b确定平面βa'∥aaα∴a'∥α同理b∥α又a'、bβ∴α∥β因此，过a和b分别存在两个平面α、β(2)设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a∴AB⊥a'a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β同理AB⊥α因此，a,b间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图

5、，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，QFDECABαβP∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC．S△DEF＝DF·DEsin∠EDF＝S△ABC＝96．例4.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．B1A1C1β

6、αBCAO求A1B1C1的面积．解：∵α∥βAA1∩BB1＝O∴AB∥A1B1同理AC∥A1C1BC∥B1C1∴△ABC∽△A1B1C1S△ABC＝AB·AC·sin60°＝∴∴＝变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点．DEACBP（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥

7、AB，同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．因为＝＋＋＝2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋∴、、共面．PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．（2）解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AGsin60°＝a，小结归纳所以tanθ＝．1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．