正文描述:《高三高考复习数学专题学案《立体几何初步》——《直线和平面垂直》》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基础过关第4课时直线和平面垂直1.直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.3.直线和平面垂直性质若a⊥,b则若a⊥,b⊥则若a⊥,a⊥则过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.4.点到平面距离过一点作平面的垂线叫做点到平面的距离.5.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离.典型例题例1.OA、OB、OC两两互相垂直,G为ABC的垂心.求证:OG平面
2、ABC.BACOG证明:∵OA、OB、OC两两互相垂直∵OA⊥平面OBC∴OA⊥BC又G为△ABC的垂心∴AG⊥BC,∴BC⊥面OAG∴BC⊥OG同理可证:AC⊥OG又BC∩AC=C∴OG⊥平面ABCSABCFE变式训练1:如图SA⊥面ABC,∠ABC=90°,AE⊥SB,且SB∩AE=E,AF⊥SC,且AF∩SC=F,求证:(1)BC⊥面SAB;(2)AE⊥面SBC;(3)SC⊥EF.证明:(1)BC⊥面SAB(2)由(1)有AE⊥面SBC(3)由(2)有SC⊥面AEFSC⊥EF例2如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别
3、是AB、PC中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若PDA=45°,求证:MN⊥面PCD.PMBCDAN证明:(1)连AC取中点O,连NO、MO,并且MO交CD于R∵N为PC中点∴NO为△PAC的中位线NO∥PA而PA⊥平面ABCD∴NO⊥平面ABCD∴MN在平面ABCD的射影为MO,又ABCD是矩形M为AB中点,O为AC中点∴MO⊥CD∴CD⊥MN(2)连NR,则∠NRM=45°=∠PDA又O为MR的中点,且NO⊥MR∴△MNR为等腰三角形且∠NRM=∠NMR=45°∴∠MNR=90°∴MN⊥NR又MN⊥CD∴MN⊥平面PCD变式训
4、练2:PD垂直于平面ABCD所在平面,PB⊥AC,PA⊥AB.求证:①ABCD是正方形;②PC⊥BC.证明:略PDABCFE例3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.(1)求证:EF⊥平面PAB;(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.(1)证明:连结EP.∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD中,∴PD⊥DE,又CE=ED,PD=AD=BC,∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE∵F为PB中点,∴EF⊥PB.由垂线定理得PA⊥AB,∴在R
5、t△PAB中,PF=AF,又PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.∵PB、FA为平面PAB内的相交直线,∴EF⊥平面PAB.(2)解:不防设BC=1,则AD=PD=1,AB=,PA=,AC=.∴△PAB为等腰直角三角形.且PB=2,F是其斜边中点,BF=1,且AF⊥PB.∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直.∴PB⊥平面AEF.连结BE交AC于G,作GH∥BP交EF于H,则GH⊥平面AEF.∠GAH为AC与平面AEF所成的角.由△EGC∽△BGA可知EG=GB,EG=EB,AG=AC=.由△EGH∽△BG
6、F可知GH=BF=∴sin∠GAH=∴AC与面AEF所成的角为arcsin.变式训练3:如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,BAD=BDC=90°,AB=AD=3,BC=2CD.求:(1)求AC的长;(2)求证:平面ABC⊥平面ACD;(3)求D点到平面ABC的距离d.ABDC解:(1)(2)略.(3)因VA-DBC=(DC×BD)×OA=6,又VD-ABC=(AB×AC)×d=d,VA-BCD=VD-ABC,则d=6,解得d=.例4:如图,棱长为4的正方体AC1,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,
7、且CC1=4CP.A1C1D1ABCDPHOB1(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1HAP;(3)求点P到平面ABD1的距离.答案:(1)∠APB=arctan(2)AP在面AC上的射影为AC又AC⊥BD∴PA⊥BD而BD∥B1D1∴B1D1⊥AP而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H∴D1H⊥AP(3)面ABD1⊥面BC1过P作PM⊥BC1于M则PM=变式训练4:三棱锥V-ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直,顶点V在底面内的射影是H.(1)求证H是△ABC的垂心;(2
8、).VEHACBD(1)证明:连结AH交BC于D点,连接CH交AB于E点,∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,∴VA⊥VBC面,又BCVBC面,∴BC⊥VA.∵VH⊥ABC面,BCABC面,∴BC⊥VH,又VA∩VH=A,∴BC
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