高考数学二轮复习提前练：24函数的奇偶性与周期性

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1、第2章第4节[基础强化]考点一：函数奇偶性的判断1．函数f(x)＝是(　　)A．奇函数不是偶函数B．偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：f(x)的定义域为{x

2、－1＜x＜1且x≠0}，f(x)＝∴f(x)是奇函数而不是偶函数．答案：A2．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　　)A．充要条件　　　　　　　B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性易证：∵h(－x)＝f(－

3、x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)对x∈R恒成立，∴h(x)是偶函数．但h(x)为偶函数，推不出f(x)，g(x)均为偶函数，反例如f(x)＝x，g(x)＝－x，h(x)＝0.虽然h(x)＝0为偶函数，但f(x)、g(x)却都不是偶函数．答案：B3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是(　　)①y＝f(

4、x

5、)；②y＝f(－x)；③y＝x·f(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④解析：∵f(x)的定义域为R，∴f(

6、－x

7、)＝f(

8、x

9、)，∴y＝f(

10、x

11、

12、)是偶函数；令F(x)＝f(－x)，则F(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，∴②是奇函数；令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，∴M(x)是偶函数；令N(x)＝f(x)＋x，则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，∴N(x)是奇函数，故②、④是奇函数．答案：D考点二：函数的周期性的判定及证明4．若存在常数p＞0使得函数f(x)满足f(px)＝f(px－)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为________

13、．解析：令px＝t，则f(t)＝f(t－)，∴f(t＋)＝f(t＋－)＝f(t)，故f(t)的一个周期为或的正整数倍．答案：k·(k∈N*)5．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．若f(x)是奇函数，有0≤x≤1时，f(x)＝x，求x∈[－1,3)的解析式．解：由0≤x≤1时，f(x)＝x.设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x，即－f(x)＝－x.∴f(x)＝x，故f(x)＝x(－1≤x≤1)．当1＜x＜3时，同理可求f(x)＝－(x－2)．f(x)＝考点三：函数奇偶

14、性与周期性综合问题6．(·广东三校联考)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于(　　)A．－1B．0C．1D．4解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又它是以2为周期的周期函数，则f(4)＝0，又f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)，则f(1)＝0，同理也得f(7)＝0，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝0，故选B.答案：B7．(·泉州质检)阅读下列材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是

15、整数，[x]是x，当x不是整数时，[x]是x左侧的第一个整数，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数，如[－2]＝－2、[－1.5]＝－2、[2.5]＝2，定义函数{x}＝x－[x]，给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1]；②方程{x}＝有无数个解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．解析：∵函数{x}的值取不到1，∴①错误；当x取…，－2.5，－1.5,0.5,1.5，…时，函数值均为，∴②正确；函数的一

16、个周期为1，∴③正确；既然是周期函数，也就不可能是单调函数．∴④错误．答案：②③8．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．解：(1)由⇒⇒f(4－x)＝f(14－x)⇒f(x)＝f(x＋10)，从而知函数y＝f(x)的周期为T＝10.又f(3)＝f(1)＝0，而f(7)≠0，故f(－3)≠

17、0.故函数y＝f(x)是非奇非偶函数．(2)由(1)知y＝f(x)的周期为10.又f(3)＝f(1)＝0，f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y＝f(x)在[0,2005]上有402个解，在[－2005,0]上有400个解，所以函数y＝f(x)在[－2005,20