§24　函数的奇偶性与周期性.doc

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1、§2.4　函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考　1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做　1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函

2、数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是________，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是________；③一个奇函数，一个偶函数的积是________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数

3、，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.3．设函数f(x)是定义在R上的奇

4、函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确判断的序号为________(写出所有正确判断的序号)．5．(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(

5、1－x)，则f＝________.题型一　判断函数的奇偶性例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝.下列函数：①f(x)＝x3－x；②f(x)＝ln(x＋)；③f(x)＝；④f(x)＝lg.其中奇函数的个数是________．题型二　函数的奇偶性与周期性例2　设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

6、(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.题型三　函数性质的综合应用例3　设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．已知函数f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(

7、x)＋f(3)成立，当x1、x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为__________．A组　专项基础训练一、填空题1．(2012·天津改编)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为________．①y＝cos2x，x∈R②y＝log2

8、x

9、，x∈R且x≠0③y＝，x∈R④y＝x3＋1，

10、x∈R2．(2011·辽宁改编)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.3．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.5．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.6．设f(x)为定义在