函数的奇偶性与周期性

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1、考纲要求考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.以函数的奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值的大小、解函数不等式及求参数的取值范围是本节考查的重点．2．研究函数性质时可以将抽象的函数具体化、直观化(利用图象).第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性的定义(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________[或_____________]，则称f(x)为奇函数．奇函数的图象关于____对称．(2)对于函数f(x)的定义域内任

2、意一个x，都有____________[或____________]，则称f(x)为偶函数．偶函数的图象关于___轴对称．(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0yf(－x)＝f(x)2．函数的周期性的定义对于函数f(x)，如果存在一个__________T，使得定义域内的每一个x值，都满足_____________，那么

3、函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______．非零常数f(x＋T)＝f(x)周期DA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数)C2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(CA．y轴对称C．坐标原点对称B．直线y＝－x对称D．直线y＝x对称4．(2012年广东广州一模)若函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)是偶函数，则实数a的值为________．05．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝__

4、_____.－0.5解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.考点1判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：解：(1)函数的定义域为x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝

5、－x＋1

6、－

7、－x－1

8、＝

9、x－1

10、－

11、x＋1

12、＝－(

13、x＋1

14、－

15、x－1

16、)＝－f(x)，

17、∴f(x)＝

18、x＋1

19、－

20、x－1

21、是奇函数．(2)此函数的定义域为{x

22、x>0}．由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)去掉绝对值符号，根据定义判断．故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.故f(x)为奇函数．(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)

23、．故函数f(x)为奇函数．(5)此函数的定义域为{－1,1}，且f(x)＝0.可知图象既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．∴f(x)是奇函数．(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则x∈D时都有－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域．(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明．(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以

24、利用图象法或定义的等【互动探究】域均为R，则()BA．f(x)与g(x)均为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数1．(2010年广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义D考点2利用函数的奇偶性求函数解析式【互动探究】3．(2011年广东广州综合测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，则当x>0时，f(x)的解析式为_______________.f(x)＝－x3－

25、x24．(2011年安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()AA．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用A值的方法．关键是通过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数52[0,1]上进行求值．【互动探究】5．(2011年山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当