函数的奇偶性与周期性(2)

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1、2.3函数的奇偶性与周期性一、选择题1.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则()A.B.C.D.域为R,所以,且函数的图象关于对称,因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,,,所以,故选D.答案D2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)．A．－1B．0C．1D．2[来源:Z,xx,k.Com]解析　(构造法)构造函数f(x)＝sinx，则有f(x＋2)＝sin＝－sinx＝－f(x)，所以f(x)＝sinx是一个满足条件的函数，

2、所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案　B【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3.下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（）A．B．C．D．答案　D4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)．[来源:Z§xx§k.Com]A.B.C.D．1解析　(特例法)∵f(x)＝是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴＝－，∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.答案　A【点评】本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义

3、进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.5．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)．A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数解析　由已知条件对x∈R都有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)因此f(－x＋3)＝f[－(x－2)＋1]＝－f[(x－2)＋1]＝－f(x－1)＝f(－x－1)＝f(－x－2＋1)＝f(－(x＋2)＋1)＝－f((x＋2)＋1)＝－f(x＋3)，因此函数f(x＋

4、3)是奇函数．答案　D6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝(　　)A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5解析　∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.答案　D【点评】本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来

5、得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)．A．6B．7C．8D．9解析　当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交

6、点个数为7.答案　B二、填空题8.已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2013)＝________.[来源:Zxxk.Com]解析　法一　当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－；当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－；….∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(201

7、3)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－.法二　∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，∴构造符合题意的函数f(x)＝cosx，∴f(2013)＝cos＝－.答案　－[来源:学+科+网]9.若函数f(x)＝(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．解析　f(－x)＝＝f(x)＋f(－x)＝＝＝0恒成立，[来源:学科网]所以a＝1或－1.答案1或－110．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析

8、　∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.答案　－111．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析　由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5