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《2-3函数的奇偶性与周期性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[最新考纲展示]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性____________________[通关方略]____________________函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(
2、x
3、)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的
4、区间上具有相反的单调性．1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．答案：B答案：B周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如
5、果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一个最小最小正数答案：A4．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则f(x)的周期为________．答案：4函数奇偶性的判断【例1】(2013年高考广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1[解析]对于y＝x3，y＝2sinx满足f(－x)＝－f(x)；对于y＝x2＋1满足f(－x)＝f(x)；对于y＝2x均不满足奇、偶函数的定义，故奇函数有2个．[答案]C反思总结判
6、断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数．f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．函数奇偶性的应用【例2】(1)(2013年高考湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1
7、)＋g(－1)＝4.则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1(2)(2013年高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．[答案](1)B(2)(－5,0)∪(5，＋∞)[答案](－3,0)∪(5，＋∞)反思总结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式可先根据奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而得到f(x)的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数
8、的对等性可得知字母的值．变式训练2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意得，函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)＞f(2a)，只需3－a2＞2a.由此解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)周期性问题[答案]A反思总结周期性问题常与奇偶性相结合，解题时注意以下两点(1)周期的确定：特别是给出递推关系要明确周期如何确定；(2)周期性与奇偶性在
9、解题时，一般情况下周期性起到自变量值转换作用，奇偶性起到调节转化正负号的作用．变式训练3．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析：f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅.当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C——函数性质的综合问题函
