2-3 函数的奇偶性与周期性 能力提升

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1、[A组　基础演练·能力提升]一、选择题1．函数f(x)＝lg是(　　)A．奇函数　　　　　　　　B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：易知函数的定义域为(－1,1)，又f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg1＝0，故f(x)为奇函数．答案：A2．下列函数中，与函数y＝－3

2、x

3、的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)A．y＝－B．y＝log2

4、x

5、C．y＝1－x2D．y＝x3－1解析：函数y＝－3

6、x

7、为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B是偶函数但单调性不符合，只有选项C符合要求．答案：C3．若函数f(

8、x)＝(k为常数)在定义域内为奇函数，则k的值为(　　)A．1　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．0解析：依题意，f(－x)＝＝－，即(2－x－k·2x)(2x＋k·2－x)＝(2－x＋k·2x)(－2x＋k·2－x)，∴k2＝1，k＝±1，选C.[来源:学

9、科

10、网]答案：C4．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝(　　)A.B.C.D.解析：由于1

11、23＝·2－log23＝·2log2＝·＝，故选A.答案：A5．(2014年宁夏三市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)[来源:学科网ZXXK]A．6B．7C．8D．9解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的周象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．答案：B6．偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f(ax－1

12、)

13、ax－1

14、)

15、ax－1

16、<2＋x2恒成立．设m(x)＝

17、ax－1

18、，n(x)＝2＋x2，其临界位置的图象如图所示：[来源:Z*xx*k.Com]下面求出相切情形下的a的大小：如左图，设切点坐标为(x0，y0)，则n′(x)＝2x0＝－a，切点可表示为，所以＝－a，得a＝2；如右图，同理可求得a＝－2.综上可知a∈(－2,2)．答案：B二、填空题7．若函数f(x)＝ln(x2＋ax＋

19、1)是偶函数，则实数a的值为________．解析：由题意知，f(x)＝ln(x2＋ax＋1)为偶函数，即ln(x2－ax＋1)＝ln(x2＋ax＋1)，即x2－ax＋1＝x2＋ax＋1，显然a＝0.答案：08．(2013年高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．[来源:Z&xx&k.Com]解析：当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)<5的解集为(－7,3)

20、．答案：(－7,3)9．(2014年银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8[来源:Z#xx#k.Com]以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；

21、根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.答案：①②④三、解答题10．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范

22、围．解析：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)