高考数学复习资料专题19：数系扩充复数

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1、考纲导读数系的扩充与复数的引入1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识网络高考导航重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.第1课时复数的有关概念基础过关1．复数：形如的数叫做复数，其中a,b分别叫它的和．2．分类：设复数：(1)当＝0时，z为实数；(2)当0时，z为虚数；(3)当＝0,且0时，z为纯虚数.3．复数相等：如果两个复数相等且相等就说

2、这两个复数相等.4．共轭复数：当两个复数实部，虚部时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．5．若z＝a＋bi,(a,bR),则

3、z

4、＝；z＝.6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做，叫虚轴．7．复数z＝a＋bi(a,bR)与复平面上的点建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就比较它们的大小.典型例题例1.m取何实数值时，复数z＝＋是实数？是纯虚数？解：①z是实数②z为纯虚数变式训练1：当m分别为何实数时，复数z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）实数？（2）虚数？（3

5、）纯虚数？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2.已知x、y为共轭复数，且，求x．解：设代入由复数相等的概念可得变式训练2：已知复数z=1＋i，如果=1－i,求实数a,b的值．由z=1＋i得==（a＋2)－(a＋b)i从而，解得．例3.若方程至少有一个实根，试求实数m的值.解：设实根为，代入利用复数相等的概念可得＝变式训练3：若关于x的方程x2＋(t2＋3t＋tx)i=0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根．解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将

6、问题转化成解方程组．例4.复数满足，试求的最小值.设，则，于是变式训练4：已知复平面内的点A、B对应的复数分别是、，其中，设对应的复数为.(1)求复数；(2)若复数对应的点P在直线上，求的值.解：(1)(2)将代入可得.小结归纳1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2．设z＝a＋bi(a，bR)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第2课时复数的代数形式及其运算基础过关1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设，则(1)＝；(2)＝；(3)＝().2．几个重要的结论：⑴⑵＝＝.⑶若z为虚数，则＝

7、3．运算律⑴＝.⑵＝.⑶＝.典型例题例1．计算：解：提示：利用原式＝0变式训练1：求复数（A）（B）（C）（D）解：故选C；例2.若，求解：提示：利用原式＝变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲．解：2例3.已知，问是否存在复数z，使其满足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由解：提示：设利用复数相等的概念有变式训练3：若，其中是虚数单位，则a＋b＝__________解：3例4.证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．证明：原方程化简为设、y∈R，代入上述方程得将（2）代入（1），整理得无实数解，∴原方程在复

8、数范围内无解.变式训练4：已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R,若<，求a的取值范围.解：由题意得z1＝＝2＋3i,于是==,=.小结归纳由<，得a2－8a＋7<0，1

9、则实数的值为（）A、-6B、13C.D.2．定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限；3．若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数（）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数=（）A．－IB．IC．2－iD．－2+i6．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知复数z满足，则z＝（）(A)－1+i(B)1+i(C)1－i(D)－1－i8．若复数，且为纯虚数，则实数为()A．1B．-1C．D．09．如果复数的实部和虚部相等，则实数等于（）（A）（B）（C）（D）10

10、．若z是复数，且，则的一个值为（）A．