高考复习第二轮专题复习复合函数的导数(二)

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1、复合函数的导数(二)目的要求:1.掌握复合函数的求导法则.2.会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题.教学过程:1.复合求导法则让学生回答复合函数定义,求导法则,求导步骤.本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导.3.应用求导法则(1)应用之一:对复合函数式求导例2求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=sinx;(3)y=cos(3x-);(4)y=请学生上台完成.答案:(1);(2)2xcosx;(3)-3sin(3x-);(4)注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导.师生一起评议.可表扬

2、四位学生完成得较好.接着提请注意,熟练后可省写步骤,并作示范.如,解(1)可表达为y==-4(1-3x).(-3)=12(1-3x)这里最后结果可写负指数或分数指数。出示教科书例3并讲解。其中对u=求u,可让学生在草稿上完成。此处,教师可作如下指导:方法一按商的求导法则求导。方法二先化为u=-1+,即u=-1+v,v=1-x,按复合函数求导。(2)应用之二解简单的应用问题增例当n*时,求证:C+2C+C+……+nC=n2.引导学生分析,联想到二项展开式(1+x)=C+CX+CX+……+CX.(*)对比展

3、开式通项Cx与待证和式通项kC,可决定对(*)式求导并赋值x=1证得.视学生水平由教师讲解或学生完全证明.证明:由(1+x)=C+Cx+Cx+……+Cx,两边对x求导,得n(1+x)﹒1=0+C+2x+……+nCx,令x=1,得n﹒2=C+2C+……+nC.注:应向学生讲清(1+x)是作为复合函数对x求导的.对此题在思考.在<<排列,组合和概率>>一章中,我们用的证法是倒序相加法,通项变换法,不妨重温一下.方法一倒序相加法令S=C+2C+……+(n-1)n+nC(1)式右边倒序,写为=n+(n-1)+(

4、n-2)+……+注意到组合数性质=(r=1,2,3,……,n)(1)式可改写为=n+(n-1)+(n-2)+……+将(1)﹑(3)两式相加(注意错位)得2=n(+++……++)即2S=n2S=n2即C+2C+……+nC=n2方法二通项变化法k=k=n=n即k=n在这一等式中顺次取k=1,2……,n,并相加得C+2C+……+nC=nC+nC+……+nC=n(C+C+……+C)=n23.反馈练习学生完成教科书练习第1,2题1.课堂小结由y=f(u),u=(x)可得复合函数y=f.关于复合函数的导数,要理解法

5、则,掌握步骤,善于应用.(1)法则y'=y'·u'(2)步骤分解---求导---回代(熟练后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导;能解有关的应用问题布置作业教科书习题3,4第2(3)(4),3题.研究题已知曲线y=+(100-x)(0)在点M处有水平切线,求点M的坐标.略解:易得y'=_.令y'=0,解得x=15.点M的坐标是(15,76).

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1、复合函数的导数(二)目的要求:1.掌握复合函数的求导法则.2.会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题.教学过程:1.复合求导法则让学生回答复合函数定义,求导法则,求导步骤.本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导.3.应用求导法则(1)应用之一:对复合函数式求导例2求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=sinx;(3)y=cos(3x-);(4)y=请学生上台完成.答案:(1);(2)2xcosx;(3)-3sin(3x-);(4)注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导.师生一起评议.可表扬

2、四位学生完成得较好.接着提请注意,熟练后可省写步骤,并作示范.如,解(1)可表达为y==-4(1-3x).(-3)=12(1-3x)这里最后结果可写负指数或分数指数。出示教科书例3并讲解。其中对u=求u,可让学生在草稿上完成。此处,教师可作如下指导:方法一按商的求导法则求导。方法二先化为u=-1+,即u=-1+v,v=1-x,按复合函数求导。(2)应用之二解简单的应用问题增例当n*时,求证:C+2C+C+……+nC=n2.引导学生分析,联想到二项展开式(1+x)=C+CX+CX+……+CX.(*)对比展

3、开式通项Cx与待证和式通项kC,可决定对(*)式求导并赋值x=1证得.视学生水平由教师讲解或学生完全证明.证明:由(1+x)=C+Cx+Cx+……+Cx,两边对x求导,得n(1+x)﹒1=0+C+2x+……+nCx,令x=1,得n﹒2=C+2C+……+nC.注:应向学生讲清(1+x)是作为复合函数对x求导的.对此题在思考.在<<排列,组合和概率>>一章中,我们用的证法是倒序相加法,通项变换法,不妨重温一下.方法一倒序相加法令S=C+2C+……+(n-1)n+nC(1)式右边倒序,写为=n+(n-1)+(

4、n-2)+……+注意到组合数性质=(r=1,2,3,……,n)(1)式可改写为=n+(n-1)+(n-2)+……+将(1)﹑(3)两式相加(注意错位)得2=n(+++……++)即2S=n2S=n2即C+2C+……+nC=n2方法二通项变化法k=k=n=n即k=n在这一等式中顺次取k=1,2……,n,并相加得C+2C+……+nC=nC+nC+……+nC=n(C+C+……+C)=n23.反馈练习学生完成教科书练习第1,2题1.课堂小结由y=f(u),u=(x)可得复合函数y=f.关于复合函数的导数,要理解法

5、则,掌握步骤,善于应用.(1)法则y'=y'·u'(2)步骤分解---求导---回代(熟练后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导;能解有关的应用问题布置作业教科书习题3,4第2(3)(4),3题.研究题已知曲线y=+(100-x)(0)在点M处有水平切线,求点M的坐标.略解:易得y'=_.令y'=0,解得x=15.点M的坐标是(15,76).

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