2005年高考第二轮复习-函数、导数、数列专题

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1、函数、导数、数列专项复习例1设函数定义域为，当时，，且对任意，有证明：（1）（2）对任意的，且在上是增函数.（3）设集合.，若，求的取值范围.解：（1）取，，有即又，（2）当时，；当时，（I）知当时，，又，，，综上所述，对任意的，有设，，，是上的增函数.（3），，即，即，直线与圆相离或相切故或例2若函数在区间内为减函数，在区间为增函数，试求当取的取值范围.解：令，解得或（1）当时，在区间内，那么在内为增函数，不合题意.（2）当时，在区间内不恒成立，那么在内不为减函数，不合题意.（3）当时，在区间内，所以在内为减函数，。在区间内，，所以在内为增函数，此时.（4）当时，在区间内

2、不恒成立，那么在上为增函数不成立，不合题意，综上所述知为所求.例3用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为由和得设容器的容积为，则有整理，得：所以令，有，即解得：，（不合题意，舍去）从而在定义域内只有在时，使，由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时，值很小（接近0），因此，当时，取得最大值.这时，高为答：容器的高为容积最大，最大容积为.例4已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列（I）证明为等比数列.（II）记是数列前项

3、和，求解：令，得，解得，为整数（I），则所以，数列是公比的等比数列，是首项（II）（是首项为，公差为的等差数列，而数列是首项为，公比的等比数列，所以是由等差，等比数列对应项的积组成的数列，求和时可以用错位相减的方法，其中所以化简得：，其中这样数列的通项分解为3个部分，第一部分是常数列，第二部分是等比数列，第三部分又是由等差、等比数列对应项乘积组成的数列，分别对这三个数列求和，就可以得到数列的前项和即有：所以例5已知是由非负整数组成的数列，满足，，（I）求；（II）证明（III）求的通项公式及前项和.解：（I）由题设得：，且均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10若，则

4、，与题设矛盾若，则，与题设矛盾若，则，，与题设矛盾所以（II）用数学归纳法证明：①当时，，等式成立②假设当时等式成立，即由题设有：因为所以也就是说，当时，等式成立根据①和②，对于所有，有，而（III）当为偶数时，当为奇数时，，当为偶数时，当为奇数时，即例6设为常数，且（I）证明对任意，（II）假设对任意，都有，求的取值范围.证明：（I）法一：（数学归纳法）（i），即，∴当时，等式成立。（ii）假设时等式成立，即那么也就是说，当时，等式也成立。根据(i)(ii)可知，等式对于任何成立。法二：是公比为，首项为的等比数列即（II）所以等价于①（1）当为奇数时，①式：（2）当为偶数

5、时，①式：综上所述，①式对任意成立，有故的取值范围是练习1．已知为实数，（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值；（3）若在和上都是递增的，求的取值范围。解：（1），（2）令，解得，此时由，得：或又，，，所以在上最大值为，最小值为（3）为开口向上且过点的抛物线，由条件知：，即解得：所以的取值范围是2．已知函数（1）若在上是增函数，试求的取值范围；（2）求的最小值解：（1）依题意在上，恒有：，，即又，（2），令①当，即时，在上恒成立，上是增函数.在上无最小值.②当，即时若时，，若时③当即时，在上恒成立.在上是减函数，综上所述，当时，无最小值。当时，，当时，3．已知，函数

6、，设，记曲线在点处的切线为（I）求的方程；（II）设与轴交点为，证明（i）（ii）若，则解：（I），由此得切线的方程为（II）依题意，切线方程中令，有即其中(i)，，又，当且仅当时，(ii)当时，，，且由(i)所以4．设，求函数的单调区间.解：当时，（i）当时，，所以，对所有的，有即时，，此时，在内单调递增.（ii）当时，，对，有，即，此时，在内单调递增，在内单调递增。又知函数在处连续，因此，函数在内单调递增.（iii）当时，令即，解得或因此函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增。令即，解得因此，函数在区间内单调递减.5．已知，求函数的单调区间.解：令即解不等式：当时，解

7、得，时，解得：或，当时，解得，令，即当时，解得，当时，解得：当时，解得或综上所述：在时，函数在区间内为减函数，在区间为增函数。在时，函数在区间内为增函数，在区间为减函数，在区间内为增函数。在时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数。6．等差数列的公差，它的一部分组成数列为等比数列，其中，，（1）求等比数列的公比；（2）记，求的解析式；（3）求的值;解：（1）依题意有：解得：（2），又，是等比数列，（3）7．（I）已知数列，其中且数列的等比数列，求常数；（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证