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时间:2018-08-03
《高考第二轮复习 函数、导数、数列专题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数、导数、数列专项复习例1设函数定义域为,当时,,且对任意,有证明:(1)(2)对任意的,且在上是增函数.(3)设集合.,若,求的取值范围.解:(1)取,,有即又,(2)当时,;当时,(I)知当时,,又,,,综上所述,对任意的,有设,,,是上的增函数.(3),,即,即,直线与圆相离或相切14故或例2若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,试求当取的取值范围.解:令,解得或(1)当时,在区间内,那么在内为增函数,不合题意.(2)当时,在区间内不恒成立,那么在内不为减函数,不合题意.(3)当时,在区间内,所以在内为减函数,。在区间内,,所以在内为增函数,此时
2、.(4)当时,在区间内不恒成立,那么在上为增函数不成立,不合题意,综上所述知为所求.例3用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面边长为,则另一边长为,高为由和得设容器的容积为,则有整理,得:14所以令,有,即解得:,(不合题意,舍去)从而在定义域内只有在时,使,由题意,若过小(接近0)或过大(接近1.6)时,值很小(接近0),因此,当时,取得最大值.这时,高为答:容器的高为容积最大,最大容积为.例4已知函数,将满足的所有正数从小到大排成数
3、列(I)证明为等比数列.(II)记是数列前项和,求解:令,得,解得,为整数(I),则所以,数列是公比的等比数列,是首项(II)(是首项为,公差为的等差数列,而数列14是首项为,公比的等比数列,所以是由等差,等比数列对应项的积组成的数列,求和时可以用错位相减的方法,其中所以化简得:,其中这样数列的通项分解为3个部分,第一部分是常数列,第二部分是等比数列,第三部分又是由等差、等比数列对应项乘积组成的数列,分别对这三个数列求和,就可以得到数列的前项和即有:所以例5已知是由非负整数组成的数列,满足,,14(I)求;(II)证明(III)求的通项公式及前项和.解:(
4、I)由题设得:,且均为非负整数,所以的可能的值为1,2,5,10若,则,与题设矛盾若,则,与题设矛盾若,则,,与题设矛盾所以(II)用数学归纳法证明:①当时,,等式成立②假设当时等式成立,即由题设有:因为所以也就是说,当时,等式成立根据①和②,对于所有,有,而(III)当为偶数时,当为奇数时,,当为偶数时,14当为奇数时,即例6设为常数,且(I)证明对任意,(II)假设对任意,都有,求的取值范围.证明:(I)法一:(数学归纳法)(i),即,∴当时,等式成立。(ii)假设时等式成立,即那么也就是说,当时,等式也成立。根据(i)(ii)可知,等式对于任何成立。
5、法二:是公比为,首项为的等比数列即14(II)所以等价于①(1)当为奇数时,①式:(2)当为偶数时,①式:综上所述,①式对任意成立,有故的取值范围是练习1.已知为实数,(1)求导数;(2)若,求在上的最大值和最小值;(3)若在和上都是递增的,求的取值范围。解:(1),(2)令,解得,此时由,得:或又,,,所以在上最大值为,最小值为(3)14为开口向上且过点的抛物线,由条件知:,即解得:所以的取值范围是2.已知函数(1)若在上是增函数,试求的取值范围;(2)求的最小值解:(1)依题意在上,恒有:,,即又,(2),令①当,即时,在上恒成立,上是增函数.在上无最
6、小值.②当,即时若时,,若时③当即时,在上恒成立.在上是减函数,综上所述,当时,无最小值。当时,,当14时,3.已知,函数,设,记曲线在点处的切线为(I)求的方程;(II)设与轴交点为,证明(i)(ii)若,则解:(I),由此得切线的方程为(II)依题意,切线方程中令,有即其中(i),,又,当且仅当时,(ii)当时,,,且由(i)所以4.设,求函数的单调区间.解:当时,14(i)当时,,所以,对所有的,有即时,,此时,在内单调递增.(ii)当时,,对,有,即,此时,在内单调递增,在内单调递增。又知函数在处连续,因此,函数在内单调递增.(iii)当时,令即,
7、解得或因此函数在区间内单调递增,在区间内也单调递增。令即,解得因此,函数在区间内单调递减.5.已知,求函数的单调区间.解:令即解不等式:当时,解得,时,解得:或,当时,解得,令,即14当时,解得,当时,解得:当时,解得或综上所述:在时,函数在区间内为减函数,在区间为增函数。在时,函数在区间内为增函数,在区间为减函数,在区间内为增函数。在时,函数在区间内为减函数,在区间内为增函数,在区间内为减函数。6.等差数列的公差,它的一部分组成数列为等比数列,其中,,(1)求等比数列的公比;(2)记,求的解析式;(3)求的值;解:(1)依题意有:解得:(2),又,是等比
8、数列,14(3)7.(I)已知数列,其中且数列的等比数列,求常数;
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