snake模型理论以及其算法实现思想

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1、Snake模型是一种可变形模型，可变形模型提供了一种高效的图像分析方法。结合了几何学，物理学，以及近似理论。它通过从样本图像中获得图像的先验知识，比如，大小，形状等，对待处理图像进行目标的分割与检测。   可变模型分为参数可变形模型和几何可变形模型，参数可变模型以显式的参数描述物体轮廓曲线或曲面，此类可变形模型允许模型进行随时的人机交互，并且表述紧凑，利于算法的实时性的实现。而几何可变形模型则是基于曲线演化理论以及水平集方法实现的，曲线的参数仅在在模型变形之后用于显示。Snake就是一种参数可变形模型，也称为参数活动轮廓模型（ActiveContourMod

2、els).Snake模型在ROI（感兴趣区域）中定义了带有能量参量的样条曲线或曲面，在外部能量参量和内部能量参量的共同作用下，初始曲线或曲面会发生形变，逐渐逼近目标轮廓，在能量最小的时候得到目标轮廓曲线或曲面。 二维情况下，带有能量参量的样条曲线可表示为： C（r）=(x(r),y(r))  r∈[0,1];曲线的能量定义如下：                        其中，曲线C的一阶导数项控制着曲线的伸缩，称为弹性能量项；曲线C的二阶导数项控制着曲线的弯曲，称为刚性能量项。   而一阶导数项和二阶导数项共同组成了曲线的内部能量，α(r)和β(r) 

3、决定弹性能量和刚性能量的大小。曲线的外部能量则是由  图像能量和约束能量构成。一般图像能量是从图像数据中获得的，比如灰度，灰度梯度等。如图像I(x,y)的图像能量可有如下描述公式：                          其中G(σ)是标准差为σ的的二维高斯函数，k(r)是权重系数。σ决定了图像的平滑效果，σ越大，目标的轮廓线会越模糊，轮廓的范围越大，这样会更方便的检测到轮廓。而约束能量则是在和用户交互的时候确定的，使模型根据特征能更有效的检测到目标的轮廓。             由变分原理及欧拉公式可得，使能量E(snake)最小化的曲线应满足

4、下面的式子：                                                 我们可以将Snake模型和物理中的力学模型结合，将上式看成是平衡力等式，                                   Fint +Fext=0         其中，内力                                     Fint=α(r)C'(r)- β(r)C''(r)                   外力         Fext=-▽Eext                为求出能量最小方程的

5、解，可加入时间参量t,使模型动态化，即C(r),变成C(r,t),即需求解偏微分方程：                                                   当C(r,t)收敛到轮廓线时，就不再变化，此时其关于时间t的导数为0，即可变为上述方程。           Snake模型的力学解释           若从力学的角度对Snake模型进行解释，会更加方便。           根据牛二定律                           曲线C的动态变化需满足方程                           

6、                           其中，Fd是阻尼力，定义为                      γ为阻尼系数。                   在图像分割中带有质量的项通常置为0，防置曲线在变形中越过轮廓边界。                                    此时，方程变为                                                            上式便是曲线C随时间进行趋向轮廓的形变力学方程，并在内力和外力相等时停止形变，达到稳定状态。            

7、  令                则上式和式子                                                                     等价！               对Snake模型的改进，主要是针对对外力模型的改进上，如GVFSnake模型。             在求解时，利用FDM（有限差分法）求方程的近似解，将上述欧拉方程离散化，可得                                其中，                                       矩阵表示： 

8、