模态叠加法算法理论及其编程实现.pdf

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1、模态叠加法算法理论及其编程实现作者：谢胜龙以下是本人硕士期间学习总结，供大家学习参考，如有错误，请多包涵。参考资料：陈奎孚《机械振动基础》、《少齿差星轮型减速器弹性动力学分析》一、系统动力学方程的解耦——坐标变换，将物理坐标x通过坐标变换xΦq转换到模态空间对系统原振动微分方程进行解耦，转换为模态坐标q下的（用模态坐标表示的）系统振动微分方程。对于系统的振动微分方程：MxCxKxf（1）这里质量矩阵和刚度矩阵均为实对称矩阵，阻尼矩阵也为实对称矩阵。由于此常微分方程组中各个微分方程相互耦合，无法单独求解。因此，要想办法通过坐标变换，将此微分方程

2、组解耦——即各个微分方程相互独立，可以单独求解。令xΦq带入上式有：MΦqCΦqKΦqf（2）T两边同乘以Φ得：TTTTΦMΦqΦCΦqΦKΦqΦf（3）当方程可以解耦时，应有TΦMΦM（4）pTΦCΦC（5）pTΦKΦK（6）p式中M、C和K均为如下形式的对角阵：pppm100c100k10000m00c00kM=2，C=2，K=2（7）ppp00m00c00knnn即：MqCqKqf（8）pppp

3、其中TfΦf（9）p公式（8）为n阶微分方程组，各个坐标q（in1,2,,）之间相互独立，可以单独求解，即实现了原方程组的解i耦。问题是，如何求得此Φ？二、坐标变换矩阵Φ的求解——求解广义特征值问题1T11将（4）式变为ΦMΦM，带入（6）式得p11MΦMKΦK（10）pp1KΦMΦMK（11）pp1其中M和K均为对角阵，MK可合并为一个对角阵：pppp10000MK12（12）pp00n其中对角线上元素为ki（in1,2,,）（13）imi于是式（11）变为KΦMΦ（

4、14）式（14）为矩阵理论中的广义特征值问题。如果将矩阵Φ按列分开Φ[,,,]（15）12nr1r2其中（rn1,2,,）（16）rrn由分块矩阵乘法10000[,,,][,,,]KKKMMM2（17）12nn1200n[,,,][KKKMM,,,M]（18）12nn1122n则式（14）就变为如下熟悉的特征值形式：KM111KM222（19）KMnnn之所以叫“广义”是因为M的存在。如果矩阵

5、M为单位阵，那么就是常规的特征值问题。于是，原方程（1）的解耦问题最终归结为求解特征值问题（14），相应的特征值方程为KM0（20）一旦求出这个多项式的根，带回式（14），便可以确定变换矩阵Φ。三、归一化——关于主质量归一化2T习惯上我们让方程的第一项系数为1，即MΦMΦEpT问题是，如何找到这样的Φ，使得ME，我们令此时的Φ为Φ，则有MΦMΦEpNpNN问题是Φ如何求？N首先引入振型的正交性方法一：由前面的论述TTTTMMM111121nTTTTMMMMΦTMΦ22M[,,,]

6、1222np12nTTTTnnMM12nnMnTM0011T00M22T00nnMTTTTT可见，若，则有M0，因为KM，两边左乘可得KM，因此有K0。ijijjjjiijjijij由这两个式子可见：任意2个振型之间，既有对M的正交性，又有对K的正交性，它们统称为振型的正交性。方法二：设振系的第i个与第j个振型向量分别为和，按照振型方程（19）有ijKM（3-1）iiiKM（

7、3-2）jjjT用左乘式（3-1）有：jTTKM（3-3）jiijiT用左乘式（3-2）有：iTTKM（3-4）ijjij因为M和K都是对称矩阵，故将式（3-4）转置后得：TTKM（3-5）jijji式（3-3）减式（3-4）得T()M0ijjiT若，则有正交关系M0ijij将其带入式（3-3）得正交关系TK0ij3由这两个式子可见：任意2个振型之间，既有对M的正交性，又有对K的正交性，它们统称为振型的正交性。因此，由振型的正交性有：TTTTMMM111121n

8、TTTTMMMMΦTMΦ22M[,,